Brauche Hilfe bei Unterräume/Base.n

Question

K ist Körper; U,V Unterräume von K³:

U := { (x₁,x₂,x₃) ∈ K³ : x₁ + x₂ + x₃ = 0 },

V := { (x₁,x₂,x₃) ∈ K³ : x₁ = x₂ = x₃ }.

 Für   (U +V)  ,  (U ∩ V)   von K³ bestimme man eine Basis.

Kann mir jemand dabei helfen ?

Answer 1

U ∩ V sind alle mit  1)   x₁ + x₂ + x₃ = 0  und   2)    x₁ = x₂ = x₃ 

also wegen 2 von der Form  ( t;t;t)   und wegen 1     t+t+t = 0


Jetzt kommt es auf K an, ob daraus  t=0 folgt oder nicht.

U+V  :   sind alle, die als Summe in der Form  ( - s - r  ;   s  ;   r) +    ( t;t;t)  

geschrieben werden können. also

s* ( -1  ; 1 ; 0 )   +   r * ( -1 ; 0 ;  1 )   +  t *  ( 1 ; 1;   1 ) 

und (je nach Wahl von K  sind die drei lin. unabh.) also Basis

{     ( -1  ; 1 ; 0 )   ;  ( -1 ; 0 ;  1 )   ;   ( 1 ; 1;   1 )    }