lineare abbildung bestimmen

Question

hier muss ja zunächst erst einmal die Abbildung bestimmen um die Werte ganz unten zu bestimmen. Ich weiß ehrlich gesagt nicht wie man das macht. Ich habe noch nie eine Aufgabe dieser Art lösen müssen. Von daher wäre es nett wenn mir jemand kurz erklären könnte wie man überhaupt die Abbildung bestimmt und dann herausfinden kann, ob die Abbildung Injektiv oder surjektiv ist.

Aufgabe:

Eine lineare Abbildung \( h: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \) erfülle die Gleichungen

$$ \begin{array}{l} {h\left((1,0,0)^{T}\right)=(0,1)^{T}, \quad h\left((0,1,0)^{T}\right)=(1,0)^{T}} \\ {h\left((1,2,3)^{T}\right)=(1,-1)^{T}} \end{array} $$
Ist diese Abbildung injektiv bzw. surjektiv? Bestimmen \( \operatorname{Sie} h\left((1,1,1)^{T}\right) \) und \( h\left((2,1,3)^{T}\right) \)
$$ $$

Comments

$$\text{Tipp: }h\big((-1,1,0)^\mathsf T\big)=h\big((0,1,0)^\mathsf T\big)-h\big((1,0,0)^\mathsf T\big)=(1,0)^\mathsf T-(0,1)^\mathsf T$$$$\qquad=(1,-1)^\mathsf T=h\big((1,2,3)^\mathsf T\big).$$

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Kannst du mir vielleicht die Lösung der Aufgabe einstellen? Wäre sehr nett von dir.Leider kann ich mit dem Tipp nicht sehr viel anfangen. Da fehlt es mir an Wissen und vor allem Übung denk ich. Wenn ich eine Lösung hätte könnte ich da systematisch mal meine Lücken abarbeiten

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vielleicht bringt dich das auf eine Idee:

$$ \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} \cdot \left( \cdots \right)=\begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix} $$
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$$ \begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix} \cdot \left( \cdots \right)=\begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix} $$
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$$ \begin{pmatrix} 1\\2\\3 \end{pmatrix} \cdot \left( \cdots \right)=\begin{pmatrix} 1\\-1 \end{pmatrix} $$

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Was soll denn in (...) eingefügt werden?Ich verstehe nicht wie ich aus einem Vektor vom R³ einen Vektor aus dem R² erzeugen kann, sprich was in (...) für ein "Objekt" stehen müsste?Vielleicht kannst du mir da noch weiterhelfen.

Answer 1

(0, 1)^T und (1, 0)^T und sind linear unabhängig, also ist die Abbildung surjektiv.

(0, 1)^T, (1, 0)^T und (1, 1)^T sind linear abhängig und Bilder einer Basis von ℝ³. Also ist die Abbildung icht injektiv.

Stelle (1, 1, 1)^T und (2, 1, 3)^T als Linearkombinationen von (1, 0, 0)^T, (0, 1, 0)^T und (1, 2, 3)^T dar. Bilde die entsprechende Linearkombination von (0, 1)^T, (1, 0)^T und (1, 1)^T um h( (1, 1, 1)^T) und h((2, 1, 3)^T) zu berechnen.

Comments

Danke erstmal!Den letzten Teil deiner Antwort müsste ich hinkriegen mit der Linearkombination. Denn was die Abbildung mit den bekannten Vektoren macht weiß ich ja.Aber den ersten Satz deiner Antwort verstehe ich nicht ganz, Du sagst die Abbildung ist surjektiv, weil die zwei Vektoren.... linear unabhängig sind. Ist das des wegen der Fall, weil die Abbildung in den R² abbildet und (1,0) und (0,-1) gerade die Einheitsvektoren sind?

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> weil die Abbildung in den R² abbildet und (1,0) und (0,-1) gerade die Einheitsvektoren sind?

Die Einheitsvektoren müssen es nicht unbedingt sein. Sondern:

Die Menge {(1,0), (0,1)} ist linear unabhängig.

Die Menge {(1,0), (0,1)} besteht aus zwei Vektoren.

Die Menge {(1,0), (0,1)} ist Teilmenge von ℝ².

ℝ² ist zweidimensional.

Also ist die Menge {(1,0), (0,1)} eine Basis von ℝ².

Also ist die Menge {(1,0), (0,1)} ein Erzeugendensystem von ℝ².

Also lässt sich jeder Vektor aus ℝ² als Linearkombination von Vektoren aus {(1,0), (0,-1)} schreiben.

Also lässt sich jeder Vektor aus ℝ² als Linearkombination von Vektoren aus {h((0,1,0)), h((1,0,0))} schreiben.

Also ist jeder Vektor aus ℝ² ein Bild einer Linearkombination aus {(0,1,0), (1,0,0)}.

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Die Dimension des Bildes ist ja dann 2. Damit ist die Abbildung surjektiv. Aus dem Dimensionssatz folgt doch dann das die Dimension des Kerns 0 sein muss. Also kann der Kern nur ein Punkt sein. Da eine Lineare Abbildung immer den Nullvektor auf 0 abbildet ist der Kern gerade der Nullvektor. Daher muss die Abbildung doch injektiv sein.

Was stimmt an diesen Überlegungen nicht?

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Der Dimensionssatz besagt, die Dimension des Definitionsbereiches ist gleich der Summe aus Dimemsion des Bildes und Dimemsion des Kernes.

Dimension des Definitionsbereiches ist 3.

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Ok. kannst du vielleicht nochmal kurz erklären warum die Abbildung nicht injektiv ist? Dies ist ja der Fall wenn der Kern mehr als nur den Nullvektor enthält. Die Begründung in deiner Antwort habe ich noch nicht verstanden.

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Weil die Bilder der Basis linear abhängig sind kann jeder Vektor des Bildes auf mehrere Arten als Linearkombination von Bildern der Basis dargestellt werden. Diese Linearkombinationen entsprechen unterschiedlichen Urbildern.