Ableitung mithilfe der Produkt- und Quotientenregel. Bsp. f : (−π, π) −→ R mit f(t) = sin(t) / ( 1 + cos(t) )

Question

a) f : R −→ R mit f(x) = x² sin(x) + x cos(x)

 b) f : (−π, π) −→ R mit f(t) = sin(t)  / (  1 + cos(t) )

wie berechnet man die Ableitung f` mithilfe der produkt- und quotienregel?

Answer 1

a) f : R −→ R mit f(x) = x² · sin(x)  +  x · cos(x)

zweimal Produktregel:  [ u * v ] ' = u ' * v + u * v '

f '(x) = 2x * sin(x) + x² * cos(x) + 1 * cos(x) + x * (-sin(x))

        = (x² + 1) * cos(x) + x * sin(x)  

 b) f : (−π, π) −→ R  mit f(t) = sin(t) / (1 + cos(t))

Quotientenregel: [ u / v ] '  =  ( u ' * v - u * v ' ) / v²

f '(t) = ( cos(t) * (1+cos(t)) - sin(t) * (-sin(t) ) / (1 + cos(t))²

       =  ( cos(t) + cos²(t) + sin²(t) ) / (1 + cos(t))²

       =  (cos(t) + 1) /  (1 + cos(t))²   =  1 / (1 + cos(1))

Gruß Wolfgang

 

Comments

danke für deine Antwort. ich habe aber nicht verstanden wie bei a)  = (x² + 1) * cos(x) + x * sin(x)   rauskommt

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 2x * sin(x) + x² * cos(x) + 1 * cos(x) + x * (-sin(x))

Das ergibt einfach  2x sin(x) - x sin(x) = x * sin(x) 

Hier kannst man cos(x) ausklammern.

Answer 2

Zähler u= sint; u'=cost; Nenner v=1+cost; v '= - sint.

Regel (u'·v - u·v ')/v² hier: (cost(1+cost)-sint·(-sint))/(1+cost)²

Umformen: (cost+cos²t+sin²t)/(1+cost)² = (cost+1)/(1+cost)² = 1/(1+cost)