Untersuchen, ob Familien von Vektoren Erzeugendensystem bilden bzw. linear unabhängig sind

Question

V=K^I, I unendliche Menge, J:=Iυ{*}, wobei *∉I, F=(v_i)_i∈J mit v_i=e_i für i∈I und v_*(i)=1 für alle i∈I.

Und dann soll noch die Dimension des Untervektorraums berechnet werden.

So ganz kann ich mir noch nichts unter der Aufgabe vorstellen. Also e_i:=(0,...0,1,0,...,0) ∈K^I, wobei die 1 an der i-ten Stelle steht, das ist soweit klar.

Dann stand im Skript noch, falls I unendlich ist, dann ist ∑_i∈I <e_i> ⊄ K^I. Da v_i=e_i mit i∈J und J ja einfach nur die Vereinigung mit einer unendlichen Menge ist, müsste J ja auch unendlich sein. Damit ist v_i aber auch keine Teilmenge von K^I und somit kann man ja auch keine Linearkombinationen bilden. Oder sehe ich das falsch?

Andererseits könnte man ja auch sagen, dass (v_i)_i∈J eine endliche Teilfamilie der Familie (v_j)_j∈J ist, sodass es dann r∈ℕ Indizes gibt j₁,...,j_r ∈J und Skalare λ₁,...,λ_r ∈K, sodass für einen Vektor v gilt: v=∑_j∈J λ_jv_j mit der Nebenbedingung, dass fast alle λ_j=0 sind. Und da e_i ja definiert, dass es endliche viele Skalare gibt, die =1 sind, würde das ja passen.

Aber welche ist jetzt die richtige Lösung oder bin ich da komplett auf dem Holzweg? Und wie berechnet man dann am Ende die Dimension davon?

Über jede Antwort wäre ich sehr dankbar.