Hallo matheruprecht,
die drei gegebenen Vektoren sind linear unabhängig, deshalb gilt:
span(T ∪ {z} ) = span( \(\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}\) , \(\begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}\) , \(\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}\) )
Die drei Vektoren sind linear unabhängig und erzeugen span(T ∪ {z} ).
Also ist { \(\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}\) , \(\begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}\) , \(\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}\) } eine Basis von span(T ∪ {z} )
und dessen Dimension ist 3 (= Anzahl der Basisvektoren).
Gruß Wolfgang