Vereinigung von Span und Vektor

Question

$$T=Span(\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix};\begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix})$$

$$z=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}$$

A: Sowohl eine Basis als auch die Dimension von Span(T∪{z}) ermitteln, wie mache ich das?

Answer 1

Hallo matheruprecht,

die drei gegebenen Vektoren sind linear unabhängig, deshalb gilt:

span(T ∪ {z} ) =  span( \(\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}\) , \(\begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}\) , \(\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}\) ) 

Die drei Vektoren sind linear unabhängig und erzeugen span(T ∪ {z} ).

Also ist  { \(\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}\) , \(\begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}\) , \(\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}\) }   eine Basis von  span(T ∪ {z} )

und dessen Dimension ist 3 (= Anzahl der Basisvektoren).

Gruß Wolfgang