Einer Kugel soll der volumsgrößte Drehkegel und die volumensgrößte quadratische Pyramide

Question

Einer Kugel soll der volumsgrößte Drehkegel und die volumsgrößte

quadratische Pyramide eingeschrieben werden. Berechne die Maße des Kegels und der Pyramide in Abhängigkeit vom Radius R der Kugel .

Vergleiche die Ergebnisse!!! Erkläre, warum der Kegel größer als die Pyramide ist

Kennt sich jemand aus???

LIEBE GRÜÜÜßEEE

Comments

Vgl. https://www.mathelounge.de/40187/extremwertaufgabe-einbeschrieben-grosstmogliche-kegelvolumen

Answer 1

Kreisgleichung um M(r, 0)

(x - r)^2 + y^2 = r^2
y = √(2·r·x - x^2)

Größter Kegel

V = 1/3 * G * h = 1/3 * pi *  √(2·r·x - x^2)^2 * x = 2·pi·r·x^2/3 - pi·x^3/3
V' = 4·pi·r·x/3 - pi·x^2 = 0
x = 4/3·r

y = √(2·r·(4/3·r) - (4/3·r)^2) = 2/3·√2·r

Größte Pyramide

V = 1/3 * G * h = 1/3 * 2 * √(2·r·x - x^2)^2 * x = 4·r·x^2/3 - 2·x^3/3
V' = 8·r·x/3 - 2·x^2 = 0
x = 4/3·r

y = √(2·r·(4/3·r) - (4/3·r)^2) = 2/3·√2·r

Der Kegel und die Pyramide sind damit gleich hoch. Da die Grundfläche des Kegels allerdings größer ist ist auch das Volumen des Kegels größer. Der Kegel nutzt ja die komplette kreisförmige Querschnittsfläche der Kugel. Die quadratische Grundfläche der Pyramide jedoch nicht.

Comments

könntest du mir eine Skizze machen ? und sie beschriften dann würde ich mich besser auskennen

---

und bitte das langsamer auflösen wo ist den das r² hinverschwunden??

(x - r)2 + y2 = r2
y = √(2·r·x - x2)

---

(x - r)^2 + y^2 = r^2
x^2 - 2rx + r^2 + y^2 = r^2       |-r^2

x^2 - 2rx + y^2 = 0

y^2 = 2rx  x^2
y = √(2·r·x - x^2)

Verwendete Formeln vgl. https://www.matheretter.de/wiki/binomische-formeln

---

und diese Gleichung ausgerechnet ?

y = √(2·r·(4/3·r) - (4/3·r)2) = 2/3·√2·r