Wahrscheinlichkeit berechnen Glühbirnen

Question

Normale Glühbirnen haben eine mittlere Brenndauer von etwa 1000 Stunden,Sparlampen dagegen etwa 6000 Stunden.Angenommen,die Brenndauer ist exponential verteilt, mit welcher Wahrscheinlichkeit hält eine normale Glühlampe (Sparlampe) 

a) mehr als 3000 Stunden 

b) mindestens 1000 und höchstens 6000 stunden

Kann mir jemand sozusagen eine Anleitung geben, finde dazu nichts.

Würde die Aufgabe gerne selbst lösen

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Vom Duplikat:

Titel: Exponentialverteilung

Stichworte: exponentialverteilung,stochastik,exponentialfunktion,zufallsgröße,zufallsvariable

Aufgabe:

Normale Glühlampen haben eine mittlere Brenndauer von etwa 1000 Stunden, Sparlampen dagegen etwa 6000 Stunden. Angenommen, die Brenndauer ist exponentialverteilt, mit welcher Wahrscheinlichkeit hält eine normale Glühlampe ( sparlampe)

A) mehr als 3000 Stunden

B) min 1000 und höchstens 6000 Stunden

Problem/Ansatz:

Mein Problem ist, dass ich nciht mal ansatzweise weiß, wie ich das zu lösen habe, da war sowas noch nie gemacht haben und mein LK lehrer uns diese Aufgabe als Klausurvorbereitung in Der letzten  Stunde vor der Klausur gegeben hat. Ich wäre so dankbar für einen Lösungswege inklusive Lösungen damit ich Es nachvollziehen kann!!

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Es gibt einen Ansatz von 2016 und aktuell (2019) eine Antwort auf deine Frage

Answer 1

Schau mal unter

https://de.wikipedia.org/wiki/Exponentialverteilung

Dort findest du auch ein Anwendungsbeispiel.

Wenn du dann noch fragen hast melde dich ruhig nochmals.

Comments

Normale Glühlampe

a) mehr als 3000 Stunden 

P(X ≥ 3000) = e^(-3000/1000) = 0,04979

b) mindestens 1000 und höchstens 6000 stunden

P(1000 ≤ X ≤ 6000) = e^(-1000/1000) - e^(-6000/1000) = 0,3654

Sparlampe

a) mehr als 3000 Stunden 

P(X ≥ 3000) = e^(-3000/6000) = 0,6065

b) mindestens 1000 und höchstens 6000 stunden

P(1000 ≤ X ≤ 6000) = e^(-1000/6000) - e^(-6000/6000) = 0,4786

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Was ist das denn für eine Formel, die sie dort anwenden? Sagt mir irgendwie nichts.

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Ich versteh einfach die Formel e^-3000/1000 nicht. Abgesehen davon dass ich sie nicht kenne.

Laut meinem Lehrbuch müsste es heißen : 1-e^-λb

Wobei b als der obere Grenzwert des Integrals gedeutet wird.

Kann mir einer diese Formel erklären

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1/λ = μ ist der Erwartungswert

Damit kann man auch schreiben

1 - e^(-b/μ)

Das habe ich gemacht.

Wenn 3000 die untere Grenze ist schreibst du

1 - (1 - e^(-3000/1000)) = e^(-3000/1000)

Du kannst es auch zunächst so aufschreiben wie du kennst und dann vereinfachen. Damit solltest du aber auch auf meine Lösung kommen.

Answer 2

Normale GL:

Mit der Dichtefunktion: \(f(x)=\dfrac{\exp \left(-\dfrac{x}{1000}\right)}{1000},\;\;\; x\in \mathbb{R}_0^+\)

a) P = \(\displaystyle\int\limits_{3000}^\infty f(x)\, dx = \dfrac{1}{e^3} \approx 5\%\)

b) P = \(\displaystyle\int\limits_{1000}^{6000}f(x)\, dx = \dfrac{e^5-1}{e^6} \approx 37\%\)

Mit der Verteilungsfunktion: \(F(x) = 1-\exp \left(-\dfrac{x}{1000}\right),\;\;\; x\in \mathbb{R}_0^+\)

a) P = \(1-F(3000) = \dfrac{1}{e^3} \approx 5\%\)

b) P = \(F(6000)-F(1000) = \dfrac{e^5-1}{e^6} \approx 37\%\)

Analog dazu verfährt man auch mit der Energiesparversion.