5.035 / Integral, Tangente im Hochpunkt / Funktion y=x^4/4-2x^2+1

Question

habe es wie beim vohrigen Beispiel versucht. Mir kommt leider wieder etwas falsches raus. Was kommt euch für ein Hochpunkt raus?

Comments

Stell doch mal deinen versuch ein. Dann könnte man sehen was du falsch gemacht hast.

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Sodala... wwas sagst du?

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2 Fehler. 

1) du hast eine Nullstelle vergessen. Bei x^2=4 kommt x=2 und x=-2 raus.

2) um den y wert auszurechnen setzt du nicht den Funktionswert der zweiten Ableitung in die ausgangsfunktion ein, sondern den x wert, den du mit der ersten Ableitung bestimmt hast, also 2. Ob minus 2 auch in frage kommt muss du noch checken.

Answer 1

Hochpunkt ist bei (0 | 1).

Answer 2

Ich schreibe jetzt mal da weiter, wo wir in den Kommentaren aufgehört haben.

Du hast ja schon gezeigt, dass bei x=0 der hochpunkt ist und bei x=2 ein tiefpunkt. Wie schon erwähnt, ist auch x=-2 zu untersuchen. Es ergibt sich:

f"(-2)=3*(-2)^2-4=8    also auch ein tiefpunkt

(Diese Untersuchung kann man sich sparen, wenn man weiß, dass die funktion achsensymmetrisch zur y-achse ist.)

Wir bestimmen die Koordinaten des hochpunktes. 

f (0)=0^4/4-2*0^2+1=1

Also ist die Tangente y=1.

Wir bilden jetzt die Differenzfunktion zwischen der tangente und der Kurve und setzen diese gleich null um unsere integrationsgrenzen zu finden.

yd=1-(x^4/4-2x^2+1)=-x^4/4+2x^2=0

x^4-8x^2=0

x^2 (x^2-8)=0

x1=0

x2=-√8

x3=√8

Da wir eine biquadratische Funktion mit ausschließlich geraden Exponenten haben liegt hier achsensymmetrie zur y-achse vor. Somit genügt es von 0 bis √8 zu integrieren und dann diesen Wert zu verdoppeln.

A=2*∫_0→√8(-x^4/4+2x^2)dx

A=2*[-1/20*x^5+2/3*x^3]_0->√8

=2*(-1/20*√8^5+2/3*√8^3)

= 2*√8*(-64/20+16/3)

  =2*√8*(-192/60+320/60)

  =2*√8*128/60

  =√8*128/30

  =√8*64/15~12,068

Answer 3

~plot~ 1/4*x^4-2*x^2+1;1;[[-4|4|-4|2]] ~plot~

f(x) = 1/4·x^4 - 2·x^2 + 1

f'(x) = x^3 - 4·x = x·(x + 2)·(x - 2) = 0

x = 0 (Hochpunkt) ∨ x = ±2 (Tiefpunkte)

t(x) = 1

d(x) = t(x) - f(x) = (1) - (1/4·x^4 - 2·x^2 + 1) = 2·x^2 - 1/4·x^4

D(x) = 2/3·x^3 - 1/20·x^5

Nullstellen d(x) = 0

2·x^2 - 1/4·x^4 = 1/4·x^2·(8 - x^2)

x = 0 (doppelt) ∨ x = ± 2·√2

2·∫ (0 bis 2·√2) d(x) dx = 2·(D(2·√2) - D(0)) = 2·64/15·√2 = 128·√2/15 = 12.07 FE