Bei Ungleichungen muss man meistens Fälle unterscheiden.
(x2+2) / (2x-1) >= x Hier sind es die Fälle (1) 2x-1>0 und (2) 2x-1>0.
Zu Fall (1) Man darf auf beiden Seiten mit 2x-1 multiplizieren und erhält x2+2≥x·(2x-1) und dann x2+2≥2x2- x. Wie eine Gleichung kann man dies umformen zu 0≥x2-x-2. Die rechte Seite kann man in Faktoren zerlegen 0≥(x-2)·(x+1). Ein Produkt ist kleiner oder gleich Null, wenn die Faktoren verschiedenene Vorzeichen haben. Innerhalb des Falles (1) sind jetzt die Fälle (1a) und (1b) zu unterscheiden
Fall (1a) x-2>0 und x+1<0 das heißt aber x>2 und x<-1, was ja nicht gleichzeitig gelten kann. Im Fall (1a) gibt es also keine Lösung.
Fall (1b) x-2<0 und x+1>0 das heißt aber x<2 und x> - 1, was für -1<x<2 gilt. Hier liegen also Lösungen der Ungleichung.
Zu Fall (2) Man darf auf beiden Seiten nur dann mit 2x-1 multiplizieren, wenn man das Ungleichheitszeichen umdreht und erhält x2+2≤x·(2x-1) und dann 0≤x2-x-2. Die rechte Seite kann man in Faktoren zerlegen 0≤(x-2)·(x+1). Ein Produkt ist größer oder gleich Null, wenn die Faktoren gleiche Vorzeichen haben. Innerhalb des Falles (2) sind jetzt die Fälle (2a) und (2b) zu unterscheiden.
Und so weiter (wenn's nicht allein geht, nochmal fragen).
