P(A)= 0.8 und P(B)=0.6 Begründe folgende aussage: P(A n B) grösser/gleich 0.4

Question

Ich habe morgen eine klausur und ich kenne eine Aufgabe bereits.

Diese wäre folgende:

P(A)= 0.8 und P(B)=0.6 Begründe folgende aussage: P(A n B) grösser/gleich 0.4

Wenn beide jetzt unabhängig wären, würde PA*PB= P(AnB) gelten. Dies würde 0.48 ergeben.
Nun ist aber unabhängigkeit nicht angegeben. Sind a und b abhängig, wäre der wert 0.48 grösser oder kleiner?

Wenn er nur ansteigen könnte, so wäre die frage geklärt und die antwort wäre: wenn die ereignisse unabhängig sind, wäre das ergebnis 0.48. Bei abhängigkeit würde der wert steigen und somit gilt in jedem Fall P(A n B) grösser/gleich 0.4.

wird der wert aber nun kleiner oder grösser? Stimmt die aussage überhaupt?

Answer 1

Ich bin selbst auf die lösung gekommen!

die erste aussage  ist :   P(A u B) >/= 0.8 (Wenn ein teil X gross ist, dann muss die vereinigung zweier mindestens so gross sein)

P(a n B) = P(a) + P(b) - P(a u b)  

Daraus folgt:

P(A n B) = 0.8 + 0.6 - P( a u b) .

Nun kann P(a u b) maximal 1 sein. Somit ergibt sich 0.8 + 0.6 - (0.8 - max. 1) was = 0.6 - mind. 0.4 ergibt.

Somit stimmt die aussage P(A n B) grösser/gleich 0.4.

:)

TL;DR

Wenn P(A n B) = 0.8 + 0.6 - P(A u B) Wobei P(A u B) maximal 1 ist .
Somit ergibt sich 0.8 + 0.6 - 1 was = 0.4 ergibt.
                              P(A)+P(B) – P(A u B) (mind 0.8, max 1)