Kurvendiskussion von f(x)=(x+1)*e^{-x}

Question

Gegeben ist eine reelle Funktion f: y =  (x+1) * e^{−x}

 

a.) Ermittle die Extremwerte und Wendepunkte von f.

b.) Bestimme die Gleichungen der Tangenten in den Punkten P( -1/ y1) und Q(1/ y2). Zeige ,dass die Tangenten normal aufeinander stehen

 

c.) Zeichne die Funktion für -1≤x≥5 und berechne den A jenes Flächenstücks ,das von der Kurve und den Koordinatenachsen im 2.Quadranten eingeschlossen wird

Answer 1

die Ableitungen erfolgen nach der Produktregel :

f ( x ) =  ( x+1 ) * e^−x

f ´ ( x ) =  ( 1 ) * e^−x  + (  x+1 ) * e^−x * ( -1)
f ´ ( x ) =  e^−x * ( 1 - x - 1 )
f ´ ( x ) =  e^−x * -x

f ´´ ( x ) = e^−x * ( -1 ) * -x + e^−x * ( -1 )
f ´´ ( x ) = e^−x * ( x  - 1)

Extremwert

f´(x) = 0 = e^−x * -x  
x = 0
f(0) = ( 0 + 1 ) * e⁻⁰
f(0) = 1

E ( 0 l 1 )

Wendepunkt

f ´´ (x) = e^−x * ( x  - 1 ) = 0
( x  - 1 ) = 0
x = -1

f(-1) = 0

W ( -1  l  0 )

Soviel bis hierhin.Es wird mir doch zuviel.

mfg Georg
 

 

 

Comments

danke kennst du dich auch bei Punkt b .) und c. ) aus ? LG

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b)

für P ist die Steigung :

f ´ ( -1 ) =  e^−(-1) * -(-1)
f ´ (-1) = e

für Q beträgt die Steigung :

f ´ ( 1 ) =  e⁻⁽¹⁾ * -(1)
f ´ (1) = -1/e

Bei senkrecht aufeinander stehenden Geraden ist der Zusammenhang der
Steigungen

m(P) = -1 / m(Q)
e = -1 / (-1/e) = e

Also gegeben.

Tangentengleichung von P.
0 = -1 * e + b
b = e
t(P) = x * e + e

c.)

Integral ( f(x) * dx ) = ( -x - 2) * e^{-x}

Das Flächenstück im 2.Quadranten liegt zwischen x=-1 und x=0
[ (-x-2) * e^{-x} ]_-1 ⁰ =  e - 2 = 0.71

mfg Georg