Reihe : Berechnen Sie Summe von ( (6·k + 3)/(k^2·(k + 1)^2) )

Question

Hey könnte jemand mir erklärend folgende Aufgabe verrechnen?

Comments

$$\text{Tipp: }\frac{2k+1}{k^2(k+1)^2}=\frac1{k^2}-\frac1{(k+1)^2}.$$

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Wie kommt anauf diese Umformung?

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$$\quad\frac{2k+1}{k^2(k+1)^2}=\frac{k^2+2k+1-k^2}{k^2(k+1)^2}=\frac{(k+1)^2-k^2}{k^2(k+1)^2}$$$$=\frac1{k^2}-\frac1{(k+1)^2}.$$

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für die Aufgabe folgt dann (3/k²)-(3/(k+1))

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Ich meinte (3/k²)-(3/(k+1)²)

Wie mache ich jetzt weiter

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Es handelt sich hier um eine sog. Teleskopsumme. Von den Partialsummen bleibt jeweils nur der erste und der letzte Summand, alle anderen addieren sich zu Null.

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also steht am Ende 3-0=3

Answer 1

Hallo Rokko,

_k=1∑ⁿ  [ 3 / k² - 1 / (k+1)² ]   =  _k=1∑ⁿ  [ 3 / k²  ]  -   _k=1∑ⁿ [ 3 / (k+1)² ]  

              =  _k=1∑ⁿ  [ 3 / k²  ]  -  _k=2∑ⁿ⁺¹  [ 3 / k²  ]   =  3 / 1² - 3 / (n+1)²

lim_n→∞  [ 3/1² - 3/(n+1)² ]  =  3

Gruß Wolfgang

Answer 2

Partialbruchzerlegung

(6·k + 3)/(k^2·(k + 1)^2) = 3/k^2 - 3/(k + 1)^2

Schreib dir dann die ersten Glieder auf. Dann erkennst du schon etwas nützliches. Du solltest auf die Summe von 3 kommen.

Comments

Auf 3 oder -3?

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Auf +3. Wenn du etwas anderes hast dann zunächst nochmals prüfen und wenn du nicht weiter weißt hier reinschreiben.

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Wie schreibe ich die Berechnung des Grenzwertes denn Formal korrekt auf bei einer Reihe? :) Das vorherige Vorgehen ist ja nicht allzu schwierig