Funktionsschar 2. Grades durch 2 Punkte bestimmen?

Question

Hi,

ich möchte gerne eine Funktionsschar aufstellen, bei der alle Graphen durch die Punkte A(0/10) und B(4/10) gehen. Alle Graphen sollen nach oben geöffnet sein und zudem den Scheitelpunkt an der Stelle x=2 haben.

Wie bestimme ich die Funktionschar mit einem Parameter?

Gruß 

Kölsche Jung

Answer 1

Funktionsschar aufstellen, bei der alle Graphen durch die Punkte A(0/10) und B(4/10) gehen. Alle Graphen sollen nach oben geöffnet sein und zudem den Scheitelpunkt an der Stelle x=2 haben.

Nimm die Scheitelpunktform

y = a(x-2)^2 + b 

Setze einen der Punkte ein und eliminiere so einen Parameter. 

Answer 2

Du kannst die Scheitelpunktform

y = a·(x - 2)^2 + b

y(0) = a·(0 - 2)^2 + b = 10 --> 4·a + b = 10 --> b = 10 - 4·a

Die Funktion lautet also

fa(x) = a·(x - 2)^2 + 10 - 4·a 

fa(x) = a·x^2 - 4·a·x + 10 mit a > 0

Answer 3

Du kannst die Scheitelform in der folgenden Weise benutzen:

$$ y = \dfrac {10-y_s}{(0-2)^2} \cdot (x-2)^2 + y_s $$Darin ist der Scheitelwert \(y_s\) der freie Parameter. Allerdings muss er kleiner als 10 sein, damit die Parabeln nach oben offen sind.