Skalarprodukte und Gram Schmidt Verfahren

Question

Ich komme bei meiner Aufgabe selbst nach 2 Stunden Recherche einfach nicht weiter.

Und zwar lautet die Aufgabenstellung so:

Für xVektor = (x1,x2) und yVektor = (y1,y2) sei <xVektor,yVektor>A  := 4x1y1 +x1y2 +x2y1 +x2y2.

"Zeigen sie, dass <.,.>A   ein Skalarprodukt definiert."

Ich habe 2 Probleme mit dieser Aufgabe:

1. Was bedeutet diese Schreibweise? "<.,.>A "  ?

2. Wie zeige ich, dass die Eigenschaft "Skalarprodukt immer positiv" hier zutrifft?

Comments

Zu (2): Es muss gelten \(\langle x,x\rangle_A>0\) für alle \(x=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}\ne0\).$$\langle x,x\rangle_A=4x_1^2+2x_1x_2+x_2^2=(x_1+x_2)^2+3x_1^2\ge0.$$

Answer 1

\( \left<*,*\right> \) steht für ein Skalarprodukt. Der Index \( A \) ist eigentlich bedeutungslos und wird wahrscheinlich nur verwendet, weil Du mehrere Skalarprodukte hast, die Du unterscheiden musst.

Oder er verweist auf irgend etwas, was mit \( A \) bezeichnet wird und hier fehlt.

Das ist kein Skalarprodukt, da \( x = (1,-1) \) und \( y = (-1,1) \) einen negativen Wert liefert.

Überprüfe lieber noch einmal Deine Aufgabe.

Grüße,

M.B.

Comments

Dass diese \(x\) und \(y\) einen negativen Wert liefern, widerlegt die Behauptung nicht.

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Es ist vollkommen egal ob für die beiden oben angegeben Vektoren das Skalarprodukt negativ wird. Es müssen Linearität, Symmetrie und positive Definitheit erfüllt sein. Du hast keine der Eigenschaften untersucht.

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wieso sollte ich?

Es gibt zwei Vektoren, die ein neg. Ergebnis liefern. Das reicht.

Grüße,

M.B.

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Und welche Eigenschaft des Skalarproduktes hast du damit deiner Meinung nach widerlegt?