Rang(AB) ≤ Rang(A) und Rang(AB) ≤ Rang(B)?

Question

$$Es \quad sei \quad \mathbb{K}  \quad ein \quad  Körper \quad und \quad  A \in \mathbb{K^{p*q}}, \quad  sowie  \quad B \in \mathbb{K^{p*r}}$$

Zeigen Sie, dass Rang(AB) ≤ Rang(A) und Rang(AB) ≤ Rang(B) gilt.!

Answer 1

Das ist ja wohl eher aus  K ^q*p  sonst geht es ja nicht. 
Also A hat die Zeilenlänge p und B die
Spaltenlänge p damit man überhaupt  A*B bilden kann.

Wenn  g die lineare Abb  von  K^r nach K^p   mit g(x)= B*x  ist  und
 f ist  die lineare Abb. von K^p nach K^q ist  mit  f(x) = A*x ,
dann ist AB die Matrix der Verkettung   f o g . 

Das Bild von g hat die Dimension   dim (  Bild(g)) = Rang ( B) .

Dann werden die Elemente von Bild(g)  durch f weiter nach K^r abgebildet.

Dadurch entsteht ein Bild, dessen dim ≤   dim (  Bild(g))  ist.  Andererseits

ist dieses ja das Bild von f o g . Also ist  Rang (A*B) ≤  Rang(B) .

Wenn ganz K^p durch f abgebildet wird, entsteht Bild(f) und hat die

Dimension  Rang(A)  .  Da bei der Verkettung von f mit g nur der Teil von Kp weiter

abgebildet wird, der in Bild(g) liegt, ist die Dimension des dabei entstehenden

Bildes jedenfalls nicht größer als Rang (A) .  

Also ist jedenfalls  Rang(AB) ≤ Rang(A) und Rang(AB) ≤ Rang(B).