orthonomalbasis des orthogonalraums E (senkrecht)

Question

die Ebene wird ja von v1 und v2 aufgespannt. Wird die Basis des Orthogonalraums E⊥ dann vom Normalenvektor von der Ebene E aufgespannt? Die Vektoren v3 und v4 können ja beide nicht gleichzeitig senkrecht auf E stehen oder?

Answer 1

natürlich können sie das, Du bist im \( \Bbb R^4 \).

Grüße,

M.B.

Comments

ok, Ich muss dann also v3 und v4 orthonormalisieren? Ein Verständnisproblem habe ich hierbei noch. Beim Gram-Schmidt-Verfahren darf man ja zunächst einfach einen Vektor normalisieren (hier z. B. v3). Wodurch ist dann aber sichergestellt, dass dieser tatsächlich senkrecht auf E liegt?

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es gilt allgemein:

Du hast einen Vektorraum \(V\) und eine Teilmenge \(U\) davon. Eine andere Teilmenge \(W\) ist orthogonal zu \(U\), wenn jeder Vektor aus \(U\) zu jedem Vektor aus \(W\) orthogonal ist.

Du kannst beweisen, dass \(U\) und \(W\) nicht einfach Teilmengen sind, sondern Unterräume sein müssen, und der eine ist dann das orthogonale Komplement zum anderen.

Denke daran, dass Orthogonalität immer von einen gegebenen Skalarprodukt abhängig ist.

Wenn bei Dir \(E\) der eine Unterraum ist, würde ich die anderen Vektoren einfach ignorieren und das orthogonale Komplement direkt ausrechnen.

Grüße,

M.B.

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Also muss ich hier einfach v3 und v4 orthonormalisieren? Sehe ich das richtig?

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ganz so einfach geht es nicht.

Deine Vektoren \(v_1,\dots,v_4\) bilden zwar eine Basis, aber keine orthogonale. Wenn Du \(v_4\) orthogonalisieren willst, steht der vielleicht auf \(v_3\) orthogonal, aber nicht unbedingt auf \(v_2\) oder \(v_1\), was er aber als orthogonales Komplement muss.

Da \(v_1\) und \(v_2\) zwar die Ebene aufspannen, aber auch nicht orthogonal sind, hast Du sowieso Probleme bei der Orthogonalisierung von \(v_3\) und \(v_4\).

Warum willst Du überhaupt eine orthogonale Basis des orthogonalen Komplements?

Mache den Ansatz

$$ u = (u_1,u_2,u_3,u_4) $$

$$ \left< v_1,u \right> = 0 $$

$$ \left< v_2,u \right> = 0 $$

Das liefert auf jeden Fall eine (nicht unbedingt orthogonale) Basis des orthogonalen Komplements, und wenn es sein muss, orthogonalisiere dann diese.

Grüße,

M.B.

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Die Aufgabenstellung verlangt eine orthogonale Basis des Komplements :)

Sorry wenn ich jetzt nochmal nachfragen muss aber so ganz klar ist mir noch nicht was ich machen muss.

Der Ansatz ist mir klar. Die vektoren u müssen senkrecht zu v1 und v2 sein.  Das bringt man durch das Skalarprodukt zum Ausdruck. Ich nehme an diese Aussage entspricht den zwei Gleichungen in deinem Kommentar.

Das Prinzip ist mir soweit klar. Aber worauf läuft das dann hinaus? Ich bekomme doch dann 8 Gleichungen wobei in jeder Gleichung 4 Unbekannte (die Komponenten jedes Vektors) stehen.

Du schreibst oben ja das dieser Ansatz eine Basis liefert aber wie funktioniert das denn?

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Du hast \(u\) mit 4 Variablen, und \(v_1\) und \(v_2\) ohne Variablen. Du bekommst ein LGS mit 4 Variablen in 2 Gleichungen und damit 2 Lösungsvektoren.

Den zweiten kannst Du dann mit dem ersten orthogonalisieren.

Grüße,

M.B