Berechnung einer Umkehrfunktion und zwar y=2^{2*x}+2^x komme überhaupt nicht weiter

Question

2^2x + 2^x =y

???

Über Erklärung wäre ich sehr sehr dankbar die auf der Website versteh ich leider nicht

Link zu den von mir benutzen Umkehrfunktionsrechner :

https://www.symbolab.com/solver/function-inverse-calculator/inverse%20f%5Cleft(x%5Cright)%3D2%5E%7B2x%7D%2B2%5E%7Bx%7D

Answer 1

2^{2x}+2^x=y

(2^x)^2+2^x=y

Setze 2^x=z

z^2+z=y

z^2+z-y=0

Schaffst du es, diese Gleichung nach z aufzulösen?

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vielen Dank für die schnelle Antwort erstmal :Dja das kann man dann ja mit der pq-Formel lösen und dann rücksubstituieren, den ln darauf anwenden und dann hat man ja quasi schon das Ergebnis. Wäre aber von allein glaub ich niemals drauf gekommen :/ wirklich vielen dank. Habt ihr vielleicht noch ein paar tipps wo man sowas noch gut üben kann, wo man so ein bisschen "quer" denken muss ? lerne momentan immer mit dem Papula

Answer 2

2^2x + 2^x = y

⇔ (2^x)²+ 2^x = y (wegen Potenzgesetzen)

⇔ (2^x)²+ 2·½·2^x = y (weil 2·½ = 1 neutral bezüglich Multiplikation ist)

⇔ (2^x)²+ 2·½·2^x + ½² = y + ½² (weil Addition eine Äquivalenzumformung ist)

⇔ (2^x + ½)²  = y + ¼ (wegen binomischer Formel)

⇔ 2^x + ½  = √(y + ¼) (durch Wurzel ziehen, n.B. 2^x + ½ ≥ 0)

⇔ 2^x  = -½ + √(y + ¼)

⇔ x = log₂ (-½ + √(y + ¼))

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vielen Dank :D wenn man das so "erklärt" bekommt ist das immer so simpel aber solche Gedankengänge habe ich meistens leider noch gar nich :/... ich hoffe das kommt mit der Zeit.In dem Sinne frohe Weihnachten :)

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Hast du das übungsbuch von Papula?

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ja das kleine mit den Erklärungen und Herleitungen und den Klopper mit den Übungs- und Klausuraufgaben

Answer 3

2^2x + 2^x =y  

f: ℝ → ℝ⁺ ;  x ↦ 2^2x + 2^x

f ist streng monoton steigend und hat die Bildmenge ℝ⁺, hat also eine Umkehrfunktion

f: ℝ → ℝ⁺ ; x ↦ f^-1(x)

Gleichung von f^-1(x):

y = 2^2x + 2^x 

nach y auflösen:

Setze z = 2^x

y = z² + z

z² + z - y = 0

z² + pz + q = 0

pq-Formel:  p = 1  ; q = -y

z_1,2 = - p/2 ± \(\sqrt{(p/2)^2 - q}\) 

z_1,2 = -1/2 ± \(\sqrt{1/4+y}\)

2^x =  -1/2 + \(\sqrt{1/4+y}\)                       [  2^x = -1/2 - \(\sqrt{1/4+y}\)  < 0 entfällt ]  

x = ln(  -1/2 + \(\sqrt{1/4+y}\)  ) / ln(2)

Variablennamen vertauschen:

y = ln(  -1/2 + \(\sqrt{1/4+x}\)  ) / ln(2)

f^-1(x)  = ln(  -1/2 + \(\sqrt{1/4+x}\)  ) / ln(2)

Gruß Wolfgang

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Auch Ihnen vielen Dank :D  der Teil 2^x = -1/2 - 1/4+y−−−−−−√ \sqrt{1/4+y}   entfällt da es unter 0 liegt und 2^x minimal 1 werden kann, habe ich das so richtig verstanden ?

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> ... und 2^x minimal 1 werden kann

für negative x-Werte kommt  2^x beliebig nah an 0 heran, ist aber  immer  positiv

[ lim_{x→ - ∞}  e^x = 0⁺ ]

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Ja klar danke, da hab ich vergessen, dass man auch negative Zahlen in den Exponenten setzen kann ich Pfosten...