Grenzwertermittlung mittels Umformung?

Question

Limes X --> 1 = x^3-1 / (x-1) (x^2+x+2)

Answer 1

limes für x gegen 1 = (x³-1)/[(x-1)(x²+x+2)]

Erstmal den Nenner des Terms ausmultplizieren (Klammer auflösen) und zusammenfassen:

limes für x gegen 1 = (x³-1)/(x³+x-2)

Setzt man gedanklich für x eine 1 in den rechten Term ein, sieht man sehr schnell dass ein unbestimmter Ausdruck des Typs 0/0 rauskommt.

In solchen Fällen kann man die Regel von L-Hospital anwenden, die besagt, dass man den Zähler und den Nenner jeweils differenzieren kann, falls ein unbestimmter Ausdruck 0/0 vorliegt, die Funktionen um 1 diffenzierbar sind und natürlich, dass die 1. Ableitung vom Nennerterm nicht 0 wird.

1. Ableitung vom Zähler = 3x² und 1. Ableitung vom Nenner 3x²+1

Also, Lim x gegen 1 = 3x²/(3x²+1) = 3/4 (einfach x = 1 in den Term einsetzen)