Konvergenz und Grenzwertermittlung

Question

Text erkannt:

\( x_{n}:=\frac{1}{n+\sqrt{1+\sqrt{n}}} \)

Aufgabe: Es soll auf Konvergenz geprüft sowie der Grenzwert ermittelt werden.

Problem/Ansatz: zunächst gilt √1+√n > 0 sodass 0 < xn = 1/n+√1+√n

Dürfte soweit korrekt sein. Hat jemand einen Tipp für den Grenzwert? Vermute dass es sich um 0 handelt und die Folge konvergiert, weiß ab hier aber nicht weiter.

Comments

versuche es doch mal mit einer ganz einfachen Abschätzung von x_n nach oben

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0 < xn und xn < 1/n ? Wenn korrekt, würde ein Verweis auf den Einschnürungssatz genügen, um Grenzwert 0 zu bestätigen?

Answer 1

Aloha :)

Ein positiver Bruch wird größer, wenn man seinen Nenner verkleinert \((\ast)\):$$0<\frac{1}{n+\sqrt{1+\sqrt n}}\stackrel{(\ast)}{<}\frac1n\to0\quad\implies\quad\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n+\sqrt{1+\sqrt n}}=0$$

Answer 2

Nenner gegen unendlich und Zähler konstant

==>  Grenzwert 0