Funktion f (x) = 2x^2 + 3x - 5. Lokale Extremalpunkte?

Question

Ich habe eine Frage zu Mathe :)

Eine Aufgabe von mir ist es, einen Lernplan zu machen. Allerdings komme ich nicht weiter.

Die Aufgabe lautet

Untersuchen Sie die Funktion f auf lokale Extremalpunkte. Skizzieren Sie den Graphen von f.

f (x) = 2x hoch 2 + 3x - 5

Die Ableitung habe ich schon gemacht: f ´ (x) = 4x + 3

                                                                       f ´´ (x) = 4

Dann muss man ja die erste Ableitung = 0 setzen, aber wie bekomme ich dann die x - Werte raus?

Und dann die x - Werte einsetzen um zu gucken, ob es ein Minimum oder Maximum ist. Allerdings fehlen mir ja die x - Werte

Answer 1

f (x) = 2x hoch 2 + 3x - 5 

Die Ableitung habe ich schon gemacht: f ´ (x) = 4x + 3

                                                                       f ´´ (x) = 4

Dann muss man ja die erste Ableitung = 0 setzen, aber wie bekomme ich dann die x - Werte raus?

4x + 3 = 0  .  
4x = -3  ==> x = -3/4  Hier hast du einen x-Wert. 

Comments

Dankeschön, jetzt muss ich das Ergebnis noch mittels f ´´ - Kriterium überprüfen oder mittels Vorzeichwechsel - Kriterium

Mir ist aber aufgefallen, das bei der zweiten Ableitung gar kein x mehr übrig bleibt... wie kann man dann die -3/4 einsetzen?

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Die zweite Ableitung ist konstant 4 (also positiv) also auch an der Stelle x =-3/4. 

Also f ''(-3/4) = 4 

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Na. Etwas mitdenken tust du ja.

Die Krümmung ist 4.
Die Funktion ist stets linksgekrümmt.

Bei einer Funktion 2.Grades = Parabel
ist dies so.

Es gibt die nach oben offene Parabel Krümmung positiv
Es gibt die nach unten offene Parabeln Krümmung negativ.

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Die Krümmung ist 4.
Die Funktion ist stets linksgekrümmt.

Der Wert der zweiten Ableitung ist kein Maß für die Krümmung, sonst wäre die Parabel überall gleich gekrümmt, was sie offenbar nicht ist. Man müsste also, wie weiter oben geschehen, so formulieren:

Die zweite Ableitung ist positiv, also ist die Funktion linksgekrümmt.

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@az0815: In der Schule (Kurvendiskussion) wir der Begriff Krümmung meist verwendet wie bei http://mathenexus.zum.de/html/analysis/kurvendiskussion/weiterfuehrendes/abl_05_zweiteAbl.htm 

Du beziehst dich wohl auf den Krümmungsradius, der nicht überall entlang der Parabel gleich ist. 

@as: Da 4>0, hast du bei deinem x=-3/4 eine lokale Minimalstelle gefunden. 

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@az007
Der Wert der zweiten Ableitung ist kein Maß für die
Krümmung, sonst wäre die Parabel überall gleich
gekrümmt, was sie offenbar nicht ist.

Wer hat das den behauptet ?

Die Krümmung ist 4.
Ist eine wahre Aussage.

Die Funktion ist stets linksgekrümmt.
Ist eine wahre Aussage.

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Im wesentlichen stört mich die Gleichsetzung der Werte der zweiten Ableitung einer Funktion mit der Krümmung ihres Funktionsgraphen. Ich finde das in der (allgemeinen) Mathematik in dieser Form nicht und in der Schulmathematik (zumindest in der mir vorliegenden Literatur) wird auch immer von Krümmungsverhalten im Sinne von links- oder rechtsgekrümmt gesprochen. Aussagen wie "Die Krümmung ist 4."  als bloßes Synonym für "Die zweite Ableitung hat den Wert 4." finde ich nicht angemessen.

Der Krümmungsbegriff ist ein wichtiger Begriff, in der Analysis und verwandten Bereichen ebenso wie in manchen Anwendungsgebieten, und reicht eben bis in die Schulmathematik hinein. Warum sollte er dort in sachwidriger Weise geführt werden?

Natürlich ist der Krümmungsbegriff kein einfacher und ich bin kein Experte auf diesem Gebiet. Einen Einblick ins Thema vermittelt vielleicht diese Quelle hier:
http://www.mathpages.com/rr/s5-03/5-03.htm

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Die Krümmung ist 4.

Wenn ich also geschrieben hätte

Der Krümmungswert ist 4.

wäre alles paletti gewesen ?

Es kam mir darauf an dem Fragesteller bei der
Überwindung seiner Schwierigkeiten zu helfen.

Es kommt mir nicht darauf an Antworten in voller
akademischen Strenge zu formulieren mit deren
Feinheiten der Fragesteller wahrscheinlich sowieso
nicht anfangen kann.

Gold-und-Silber-lieb-ich-sehr

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Die "zweite Ableitung hat den Wert 4" wäre richtig und "die zweite Ableitung ist positiv" hätte auch genügt. Du hast den Krümmungsbegriff eingeführt, nicht ich!

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Zitat az007 ( siehe oben )

Die zweite Ableitung ist positiv, also ist die Funktion linksgekrümmt.

Wie kannst du nur den völlig falschen Begriff
" linksgekrümmt " für einen Wert der 2.Ableitung
verwenden.

Sag einmal : merkst du es noch ?

Ich wiederhole mich weil dies mit Copy & Paste
relativ schnell gut

Es kam mir darauf an dem Fragesteller bei der
Überwindung seiner Schwierigkeiten zu helfen.

Es kommt mir nicht darauf an  für dich Antworten
in voller akademischen Strenge zu formulieren mit
deren Feinheiten der Fragesteller wahrscheinlich
sowieso nicht anfangen kann.

Gold-und-Silber-lieb-ich-sehr

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Gold-und-Silber-lieb-ich-sehr

Ja, dir auch!

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Die Stimmung ist hier mal wieder ganz schön gekrümmt.

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@as.
Das du hier Fragen einstellst ist ok.
Ich hoffe dir wird durch die Antworten auch weitergeholfen.
Dazu ist das Forum ja da.

@az4711
Der Fragesteller schrieb.

Dann muss man ja die erste Ableitung = 0 setzen, aber wie bekomme ich dann die x - Werte raus?

Die Frage zeugt davon das doch noch erhebliche
Wissenslücken vorhanden sind.
Lu eine erste Antwort auf die Frage gegeben.

Und dann die x - Werte einsetzen um zu gucken, ob es
ein Minimum oder Maximum ist. Allerdings fehlen mir
ja die x - Werte

Ich habe daraufhin einen Kommentar auf
dem vermuteten Wissensstand mit einigen
allgemeinen Hinweisen über Parabeln und deren Krümmungsverhalten gegeben.

Meine Absicht war es nicht eine Grundsatzdiskussion
über 2.Ableitung deren Zusammenhang mit sogenannten
Krümmungen  auf höchstem universitärem
Niveau mit dem Fragesteller zu führen.

Gold-und-Silber-lieb-ich-sehr