Wie berechne ich die Monotoniebereiche von (x^{2}+3*x+2)/(x^{2}-1) // Wie Untersuche ich das Krümmungsverhalten?

Question

die Frage steht oben, die erste Ableitung habe ich bereits, wenn ich jetzt versuche die Nullstellen der ersten Ableitung zu berechnen, um die dann in die zweite Ableitung einzufügen um die Monotoniebereiche rauszubekommen, dann funktioniert das nicht ganz, diese Ableitung besitzt ja keine Nullstellen, wie berechne ich denn jetzt die Monotoniebereiche?

Die erste Ableitung : -3/(x-1)^{2}

zweite Ableitung: 6/(x-1)^{3}

Und wie genau "untersuche" ich die Krümmungseigeschaften?, wo fange ich da an und wie schreibe ich das auf?

:)

Answer 1

f(x) = (x^2 + 3·x + 2)/(x^2 - 1)

f(x) = (x + 2)/(x - 1)

f'(x) = -3/(x - 1)^2

f''(x) = 6/(x - 1)^3

Monotonie

f'(x) = -3/(x - 1)^2 < 0 --> Streng monoton Fallend für ]-∞; 1[ ∪ ]1; ∞[

Krümmung

f''(x) = 6/(x - 1)^3 > 0 für x > 1 --> Linksgekrümmt für x > 1

f''(x) = 6/(x - 1)^3 < 0 für x < 1 --> Rechtsgekrümmt für x < 1

Comments

Danke,

"f''(x) = 6/(x - 1)³ < 0 für x < 1 --> Rechtsgekrümmt für x < 1 "

Warum sagst du hier <0?

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Was für werte nimmt denn  6/(x - 1)³ an, wenn x < 1 ist?

Eine positive Krümmung :-) bedeutet Linkskrümmung

Eine negative Krümmung :-( bedeutet Rechtskrümmung

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Ah verstehe, wenn es jeweils negativ oder positiv wird, erhält man die links-oder rechtskrümmung.

f'(x) = -3/(x - 1)² < 0 --> Streng monoton Fallend für ]-∞; 1[ ∪ ]1; ∞[

Kannst du mir das vielleicht nocheinmal ein bisschen genauer erklären? :) Danke

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f'(x) < 0 bedeutet streng monoton fallend

f'(x) > 0 bedeutet streng monoton steigend

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Und das <0 bezieht sich auf die -3?

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Da der Nenner sicher nur positiv ist und etwas negatives durch etwas positives etwas negatives ergibt bezieht sich das auf den ganzen bruch.

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Ok Vielen Dank, alles verstanden :)

Answer 2

Deine Ableitungen stimmen

Die erste Ableitung : -3/(x-1)²
D = ℝ \ { 1 }

Für Monotonie > 0
( x -1)^2 als Quadratzahl ist stets positiv
-3 / positiv ist stets < 0
Die Monotonie ist nie > 0

Die Monotonie ist stets < 0

zweite Ableitung: 6/(x-1)³

Krümmung > 0

6 / (x-1)^3 > 0

falls ( x -1 )^3 positiv ist ist
( x -1 ) auch positiv
x -1 > 0
x > 1

Für x > 1 gilt 6 / ( x-1 )^3 ist positiv.
Die Krümmung ist positiv. Linkskrümmung.

Die Grafik zeigt :
Die Funktion ist stets fallend.
unter 1 ist Rechtskrümmung  ( negativ )
über 1 ist Linkskrümmung  ( positiv )