Zeigen, dass durch <p,q> = Integral_(-1)^1 p(x)q(x) dx ein Skalarprodukt auf R[x] definiert wird.

Question

wie löse ich folgende Aufgabe:

Answer 1

musst die Axiome prüfen:

1. Linearität  < p+q , r > = < p,r > + < q,r >

führst du einfach auf die Eigenschaften des Integrals zurück

∫ von -1 bis 1 über (p+q)*r dx


=  ∫ von -1 bis 1 über (p*r+q*r) dx


=  ∫ von -1 bis 1 über (p*r) dx   +   =  ∫ von -1 bis 1 über q*r) dx 



=  < p,r > + < q,r >  andere Linearitätseigenschaften entsprechend.

symmetrisch:  wegen kommutativität der Multiplikationpos. Def.  

∫ von -1 bis 1 über (p*p)  dx   ≥  0  ist wohl klar

und  = 0 nur wenn  p das 0-Polynom ist. Hier wird gebraucht,

dass es nur um Polynome geht.