Question

Häufungspunkte der komplexen Folge bestimmen! z_n:= ( (1+i√3) / 2 )^n

Irgendwelche Ideen wie ich das lösen kann?

Ich denke es gibt keinen und die Folge divergiert... aber laut Aufgabenstellung muss es ja mind. einen HP geben.

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Einfach mal ein paar Folgenglieder ausrechnen. |z_n| ist auch interessant.

Answer 1

Tipp:

1/2+isqrt(3)/2=e^{i*π/3}

Comments

so ich komme mir diesem Weg auf 1 als Häufungspunkt ich habe e^{^ln((1+√3*i)/2)^n} eingesetzt die n rutscht vor also e^{^n*ln((1+√3*i)/2)} und für ^lim_n ->∞ ist ja n=0 dann bleibt e⁰ und das ist dann 1... 1 ist mein Häufungspunkt? also Im 0 und Re 1?

Oder meinst du mit e^i*π/3 irgendetwas mit Polarform?

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zu "Fakename"

Meinst du so:

|w| = √((1/2)²+(√3)/2))²) = √(1/4 + 3/2)

-> |z_n|= √(7/4)ⁿ  -> ∞ Also ist z_n divergent und hat keinen Häufungspunkt?         

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Ja das ist die Exponentialform der Zahl in der Klammer. Es ist (e^{i*π/3})^n= e^{i*n*π/3}.

Jetzt überlegen, was für Werte dabei rauskommen können für verschiedene n.

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(sqrt(3)/2)^2=3/4

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"(sqrt(3)/2)²=3/4" ---stimmt falsch abgeschrieben

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So ich verstehe nicht wie man von

 

auf e^i*n*π/3 kommt aber ich nimm das mal an... dann komm ich auf folgendes:

Also für n= 1 bis n= 6 alle Ergebnisse... bis e^2pi*i das heißt wir drehen uns 1x im Einheitskreis?

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Ja genau :), die Werte wiederholen sich für größere n immer wieder. Das wären alle Häufungspunkte.

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Ich weiß immernoch nicht wie ich auf die Form e^i*n*π/3 komme, aber egal ich hab ja die Lösungen. Danke sehr