Induktion und Summenformel

Question

Wir sollen diese Rechenregel über einen Induktionsbeweis führen, kann mir jemand den Beweis für n+1 zeigen/erklären?

Answer 1

Hallo Christina,

Als Induktionsanfang musst du wohl  n=1 nehmen,  _k=1Σ⁰  macht keinen Sinn:

 _k=1Σ¹ (a_k + b_k)    =   a₁ +  b₁  =   _k=1Σ¹ a_k  +  _k=1Σ¹ b_k  

A(n) → A(n+1):                                      ( Induktonsvoraussetzung IV)

Zu beweisen ist:    _k=1Σⁿ⁺¹ (a_k + b_k)  =  _k=1Σⁿ⁺¹ a_k  + _k=1Σⁿ⁺¹ b_k

Es gilt:

_k=1Σⁿ⁺¹ (a_k + b_k) 

=    _k=1Σⁿ (a_k + b_k)  +  a_n+1 +  b_n+1       ( der n+1-te Summand der Summe                                                                                               wird abgetrennt)

=_{IV     k=1}Σⁿ a_k  +  _k=1Σⁿ  b_k  +  a_n+1 +  b_n+1

=    _k=1Σⁿ a_k  +  a_n+1  +  _k=1Σⁿ  b_k  +  b_n+1

=  _k=1Σⁿ⁺¹ a_k   +   _k=1Σⁿ⁺¹  b_k

Gruß Wolfgang

Answer 2

Induktionanfang: Für n=1 haben wir dass $$a_1+b_1=a_1+b_1 \ \ \checkmark$$

Wir behaupten dass es für n gilt: $$\sum_{k=1}^n(a_k+b_k)=\sum_{k=1}^na_k+\sum_{k=1}^nb_k$$

Wir wollen zeigen dass es auch für n+1 gilt:

 $$\sum_{k=1}^{n+1}(a_k+b_k)=\sum_{k=1}^n(a_k+b_k)+(a_{n+1}+b_{n+1}) \\ =\sum_{k=1}^na_k+\sum_{k=1}^nb_k+a_{n+1}+b_{n+1} \\ =\sum_{k=1}^na_k+a_{n+1}+\sum_{k=1}^nb_k+b_{n+1} \\ =\sum_{k=1}^{n+1}a_k+\sum_{k=1}^{n+1}b_k$$