Zeigen sie, dass f(x) stetig aber nicht differenzierbar ist

Question

f(x)= x*sin(1/x)    f(0)=0

Ich habe jetzt die stetigkeit im an der Stelle 0 überprüft, indem ich gezeigt habe, dass der linksseitige grenzwert=funktionswert=rechtsseitiger grenzwert.

Dann die differenzierbarkeit an der Stelle o mit lim x→0 (Differenzialquotient) also ob da für x=0 das gleiche rauskommt wie für x≠0

Bin drauf gekommen das die Funktion nicht diffbar ist, da ich für x≠0 sin (1/x) hätte nachdem ich was weggekürzt habe und ich kann ja nicht durch 0 teilen.

Mein Problem ist, dass ich nicht weiß ob ich das so machen kann, da mein Tutor die differenzierbarkeit mit h→0 nachgewiesen hab aber das ist ja eigentlich egal mit welcher Formel ich es mache oder?

Answer 1

Du kannst Differenzierbarkeit bie 0 auch über den

grenzwert von

(f(x) - f(0) )  /   ( x-0 )    für x gegen 0 prüfen.

Dann hast du


( x * sin(1/x)  - 0 ) / ( x-0 )   =   sin(1/x)

Und sin(1/x) hat für x gegen 0 keinen Grenzwert, denn

wenn du etwa mit  der Folge  1 / (n*pi) gegen 0 gehst, gehen

die Funktionswerte gegen 0  aber bei 

1 / (2n*pi + pi/2 )   gehen sie gegen 1.

Comments

Danke:)

Wieso kann ich einfach eine Folge nehmen anstatt dem x?

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Grenzwert für x gegen ....   kannst du über eine

geeignete Epsilon - Delta - Betrachtung erledigen, oder

über die Überlegung 

Wenn lim x gegen a f(x) = g ist , dann heißt das

Für JEDE Folge xn, die gegen a konvergiert , konvergiert die

Folge f(xn) gegen g.

Zum Widerlegen reicht es also eine Folge zu finden, bei der

f(xn) nicht konvergiert, oder zwei verschiedene, bei denen  die

f(xn) gegen unterschiedliche Grenzwerte konvergieren.