Dimension und Basis von Kernf und Bildf bestimmen?

Question

ich habe eine lineare Abb. f:R²->R³ mit f(x,y)=(x-y,y-x,y) und soll die Dimension und eine Basis von Bildf und Kernf bestimmen.

Ich habe da eine Idee aber weiß nicht genau ob das richtig ist.

Also für dimKernf habe ich 0, daraus folgt das auch die Basis von Kernf der Nullvektor ist. Und durch eine Formel hab ich rausgefunden das dimBildf 2 ist. Somit benötige ich zwei Basisvektoren für Bildf oder? Und nun hakt es. Ich habe gelesen das ich die Basis für Bildf mit der transponierten Matrix bekommen kann, dass wäre doch dann in dem Fall

1 -1 0

-1 1 1    

umgeformt dann

1 -1 0

0 0 1

und dann habe ich es so verstanden das meine zeilenvektoren nun meine Basis für Bildf bilden. Aber da bin ich mir nicht sicher. Wäre für jeden Rat oder Verbesserung dankbar

Answer 1

Die Matrix ist doch wohl

1      -1
-1     1
0       1

also in der Tat rang=2 also Kern(f) = {0-Vektor}und die beiden Spalten bilden eine

Basis für Bild(f).Weiter umformen musst du nicht,

schadet aber nicht.

Comments

muss man denn nicht die transponierte Matrix bilden um die Basen zu bestimmen?

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Die Zeilen der transponierten oder

die Spalten der Originalmatrix.

Ist beides gleich.

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@mathe Nur mal so aus Interesse.  Die Abbildung ist nicht surjektiv weil dimBild<3 ist oder?

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So ist es in der Tat.