1. Ableitung von f(x) = x * [sqrt(0.5x+6) + 2.5x] bestimmen

Question

Liebe Community, ich sitze schon längere Zeit an einer Funktion, welche in die erste Ableitung überführt werden soll.

 

f(x) =  x  *  [    sqrt(0.5x+6) + 2.5x   ]

Die Lösung lautet  :    f´(x) =     sqrt(0.5x+6)     +     x /  4sqrt(0.5x+6)     +  5x

 

Leider versteh ich die Vorgehensweise nicht , also ob man direkt die Produktregel anwendet oder erst die Kettenregel usw. ..... , deshalb hoffe ich auf eure Hilfe !

Answer 1

Hi Element,

Multipliziere erstmal aus:

f(x)=x*√(0,5x+6)+2,5x^2

f'(x)=1*√(0,5x+6)+x*1/2*1/√(0,5x+6)*1/2 + 5x

 

Der zweite Summand der Ableitung kommt dabei so zustande, dass das erste 1/2 aufgrund der Wurzel berücksichtigt werden muss. Die Wurzel selbst fällt dank der Ableitung in den Nenner. Der letzte Faktor 1/2 folgt aus der inneren Ableitung -> 0,5x+6 -> 1/2

 

Grüße

Comments

Danke für eine so schnelle Antwort :) ....hatte bei der Produktregel einen Fehler gemacht !

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Freut mich, wenn ich helfen konnte ;).

Und zur Information, das ist keine Differentialgleichung. Das ist nochmal was anderes.

Answer 2

f(x) = x * (√(0,5x + 6) + 2,5x)

Wir können erstmal die Klammer ausmultiplizieren und erhalten: 

f(x) = x * (√(0,5x + 6)) + 2,5x²

Das kann man schreiben als

x * (0,5x + 6)^1/2 + 2,5x²

Den zweiten Summanden können wir gleich einfach ableiten zu 5x.

Der erste Summand ist ein Produkt, so dass wir hier zunächst die Produktregel und dann die Kettenregel anwenden können. 

u = x

u' = 1

v = (0,5x + 6)^1/2

v' = ((0,5x + 6)^1/2)'

Innere Ableitung = (0,5x + 6)' = 0,5

Äußere Ableitung = 1/2 * (0,5x + 6)^-1/2

Insgesamt also f'(x) = (uv)' + 5x = u'v + uv' + 5x=

f'(x) = 1 * (0,5x + 6)^1/2 + x * 0,5 * 1/2 * (0,5x + 6)^-1/2 + 5x

f'(x) = (0,5x + 6)^1/2 + x/4 * (0,5x + 6)^-1/2 + 5x

f'(x) = √(0,5x + 6) + x/ [4 * √(0,5x + 6) ] + 5x

 

Etwas klarer geworden?

Besten Gruß