Taylorentwicklung Extremwerte von ln(2)

Question

Berechnen Sie näherungsweise ln(2), indem Sie dafür das Taylorpolynom 4. Grades für f(x) = x ⋅ln(x) am Entwicklungspunkt x0=1 verwenden. Bestimmen Sie die Genauigkeit mit Hilfe der Restgliedabschätzung von Lagrange. Überlegen Sie, was Sie für x im Taylorpolynom einsetzen und wie Sie dann die Näherung für ln(2) erhalten.

Answer 1

Hi,
die Taylorreihe lautet
$$ T_4(x) = (x-1)+\frac{(x-1)^2}{2}-\frac{(x-1)^3}{6}+\frac{(x-1)^4}{12}  $$ und das Restglied lautet $$ R_4(x) = -\frac{(x-1)^5}{20}  $$
Weiter gilt
$$ f(2) = 2 \ln(2) \approx T_4(2) = 1.417  $$ also $$ \ln(2) \approx 0.708  $$ und $$ | R_4(\xi) | \le 0.05  $$ für \( \xi \in (1,2) \)