Wenn du deine Matrix mal An nennst, wobei
n die Anzahl der Zeilen (und auch der Spalten) angibt,
dann kannst du zunächst mal von der ersten Spalte
die letzte subtrahieren. Dann hast du eine Matrix, die
so aussieht:
In der ersten Spalte ist oben eine 1, darunter alles 0en
und ganz unten eine -1.
Die Determinante dieser neuen Matrix entwickelst
du nach der ersten Spalte und erhältst
1*A
n-1 + (-1)
n * B
n-1wobei B
n-1 so aussieht:
Es ist A
n-2 bei der rechts eine Spalte mit lauter 2en und
oben eine Zeile mit lauter 2en angefügt ist.
Und dieses B
n-1 kannst du wieder so umformen, dass du
von allen Spalten (außer der letzten) jeweils die letzte
Spalte subtrahierst. Dann entsteht eine Matrix die aussieht
wie die Einheitsmatrix, nur oben ist eine Zeile
0 0 0 ... 0 2 ergänzt und rechts eine Spalte mit lauter 2en.
Wenn du die zugehörige Determinante nach der 1. Zeile entwickelst
gibt das ja fast alle 0en und am Ende (-1)
n-1 * 2
Also ist det ( B
n-1 ) = (-1)
n-1 * 2 . Das eingesetzt in
1*A
n-1 + (-1)
n * B
n-1 gibt
det(A
n) = 1*A
n-1 + (-1)
n * (-1)
n-1 * 2 = A
n-1 + 2
Also ergibt sich det(A
n ) = 1 + 2*n
