Funktions Frage: Brücken Parabel ausrechnen

Question

Aufgabe eine Brücke hat das Spannseil zwischen den Pfeilern. Das Spannseil liegt (etwa) auf einer Parabel

Daten der Brücke:

Spannweite zwischen den Pfeilern : ca.1991

Höhe der Pfeiler über dem Wasser: 283m

Geringster Abstand zwischen Spannseil und Fahrbahn 15m

Höhe der Fahrbahn über dem Wasser: 71m


a) Gib eine Funktionsgleichung einer Funktion f an, deren Graph dem Spannseiol zweischen den beiden Pfeilern entspricht.

b) Welche Defintionsmenge ist bei dieser Funktion sinnvoll?

Comments

Sind die angegebenen Daten etwa so zu verstehen -

sorry für die schlechte Skizze :-) ?

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genau richtig :)

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Prima, dann bekommst Du auch bis 23 Uhr eine Lösung :-)

Answer 1

a)

Ich gehe davon aus, der Wasserspiegel der x-Achse entspricht - sonst hätte man ja wohl kaum die Angabe "Höhe der Fahrbahn über dem Wasser" aufgeführt. 

Die Funktion muss sich darstellen lassen als ein Polynom 2. Grades, also in der Form

f(x) = ax^2 + bx + c

f'(x) = 2ax + b

f''(x) = 2a

Die y-Achse können wir in der Mitte der Brücke verorten; also gilt:

f(0) = 15 + 71 = 86

Die Brücke erstreckt sich von 0 bis 1991/2 nach rechts und von -1991/2 bis 0 nach links. Verständlich?

Dann gilt: 

f(-1991/2) = f(-995,5) = 283

f(1991/2) = f(995,5) = 283

3 Angaben für ein Polynom 2. Grades sollten reichen: 

f(0) = a*0^2 + b*0 + c = c = 86

f(-995,5) = (-995,5)²a - 995,5b + c = 283

f(995,5) = 995,5²a + 995,5b + c = 283

(995,5² = 991020,25)

a ≈ 0.00019878504

b = 0

c = 86

f(x) = 0,00019878504x² + 86

b)

Definitionsmenge: 

-995,5 bis +995,5

 

Gerade so geschafft :-D

 

Ich hoffe, es hilft ein wenig :-)

Besten Gruß

Comments

bitte a) noch einmal näher erläutern

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Die Mitte der Brücke hat den x-Wert 0. 

Die linke Seite der Brücke hat den x-Wert -995,5.

Denn die Brücke hat eine horizontale Ausdehnung von 1991 Metern. 

Entsprechend hat die rechte Seite der Brücke den x-Wert +995,5. 

Die entsprechenden y-Werte können wir mit den gegebenen Angaben einsetzen:

In der Mitte der Brücke "hängt das Spannseil am meisten durch", also

f(0) = 71 + 15 = 86   

Ganz links, also am linken Ende der Brücke (x = -995,5), hat das Spannseil die größte Höhe, nämlich 283 Meter über dem Wasserspiegel, also

f(-995,5) = 283

Ganz rechts ist hat das Spannseil die gleiche Höhe wie ganz links, also

f(995,5) = 283

Die Brücke ist achsensymmetrisch zur y-Achse, die sich genau in der Mitte der Brücke befindet, also am Wert x = 0

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f(0) = 71 + 15 = 86  

wie kommst du darauf mit diesen Werten zu rechnen (die ist der Graph also c von

f(x)= ax²+bx+c (c=15)) aber wie kommst du auf 71 Meter

 

wieso benutzt du ihn

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Ich habe ja - im Gegensatz zum Mathecoach - den Wasserspiegel als x-Achse genommen und alle Werte in Abhängigkeit davon berechnet. 

Die Fahrbahn befindet sich 71 Meter über dem Wasser. 

Und an der Stelle des "tiefsten Durchhängens" befindet sich das Spannseil 15 Meter über der Fahrbahn. 

Also muss ich vom Wasser erstmal 71 Meter nach oben gehen, um bis zur Fahrbahn zu kommen, und dann von der Fahrbahn aus nochmals 15 Meter nach oben, um zum Spannseil zu kommen. 

Also insgesamt 71 Meter + 15 Meter = 86 Meter. 

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Vielen Dank erstmal für deine nette Mitarbeit

Für was setzt du 71 denn ein für a oder b

und warum setzt du diesen wert ein (tut mir leid, dass ich moch so blöd anstelle ich verstehe nur einfach nicht)

und bedeutet f(995,5) = 283 gleich P(995,5/283)

Danke

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Gern geschehen :-)

Die allgemeine Gleichung für ein Polynom 2. Grades lautet ja:

f(x) = ax^2 + bx + c

Für x nehme ich die gegebenen Werte, nämlich x = 0 für die Mitte der Brücke, x = -995,5 für das linke Ende der Brücke und x = +995,5 für das rechte Ende der Brücke. 

Dann nehme ich die entsprechenden y-Werte (also die jeweilige Höhe des Seils), die ja gegeben sind: 

f(0) = 71 + 15 = 86 | die Stelle des tiefsten Durchhängens

Denn in der Mitte der Brücke ist das Seil 86 Meter über dem Wasserspiegel, ja?

f(-995,5) = 283 | das linke Ende der Brücke

Denn ganz links befindet sich das Seil 283 Meter über dem Wasserspiegel. 

Und schließlich

f(+995,5) = 283 | das rechte Ende der Brücke

Denn ganz rechts befindet sich das Seil ebenfalls 283 Meter über dem Wasserspiegel (wegen der Symmetrie).

Das setze ich dann in die allgemeine Gleichung für ein Polynom 2. Grades ein, die ja lautet: 

f(x) = ax^2 + bx + c

f(0) = a*0^2 + b*0 + c = 86

f(-995,5) = a*(-995,5)^2 + b*(-995,5) + c = 283

f(995,5) = a*(995,5)^2 + b*(995,5) + c = 283

Nun habe ich 3 Gleichungen mit den 3 Unbekannten a, b und c und löse sie mit dem Gauss-Algorithmus oder dem Taschenrechner :-) auf. 

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zwei allerletzte Fragen warum ist a ≈ 0.00019878504

und rechne ich die Definitionsmenge mit der Gleichung und der pqformel aus ?f(x) = 0,00019878504x2 + 86 und ist p dann 0,00019878504x2

sonst alles verstanden

Danke

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wie rechnest du die Definitionsmenge sprich -995,5 bis +995,5 aus

Wie setzt du f(x) = 0,00019878504x² + 86

gleich 1 und was hast du dann bei c stehen

Danke

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Ganz kurz, muss weg: a ergibt sich, wenn man die bunten Gleichungen berechnet. b ebenfalls, ist 0, c ist 86. Die Definitionsmenge ist ganz einfach die Länge der Brücke: 995,5 + 995,5 = 1991. Zum Gauss-Algorithmus gibt es an anderer Stelle hier im Forum Beispiele. Heute Abend habe ich wieder Zeit. LG Brucybabe

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Kleiner Tipp. Auch hier braucht man eigentlich nicht mit dem Gauss rechnen. Da wir den Scheitelpunkt auf die y-Achse gesetzt haben ist das b in der allgemeinen Formel eh Null. Der y-Achsenabschnitt (bzw. das c) ist hier einfach c = 71 + 15 = 86.

Den Öffnungsfaktor, kann man hier genauso berechnen wie ich es gemacht habe. Wir kennen dazu den Scheitelpunkt (0, 86) und den Punkt  (995.5, 283)

Nun berechnet man den Öffnungsfaktor aus

a = (Py - Sy) / (Px - Sx)^2 = (283 - 86) / (995.5 - 0)^2 = 788/3964081

Da ich jetzt a, b und c habe kann ich die Parabelgleichung aufstellen

f(x) = ax^2 + bx + c
f(x) = 788/3964081 * x^2 + 0 * x + 86
f(x) = 788/3964081 * x^2 + 86

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was meinst du mit die bunten gleichungen berechnen

wie mache ich das

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leider ist mir immer noch nicht ganz bewusst wie man a ausrechnet


die Definitionsmenge habe ich aber verstanden, weil man es ja auch mit Überlegungen hinbekommt alle Werte über (-) 999.5 sind schließlich zu "groß"

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Wenn Du nicht die vom Mathecoach empfohlene Vorgehensweise nutzen willst, sondern meine, dann heißt das: 

f(0) = a*0² + b*0 + c = 86

f(-995,5) = a*(-995,5)² + b*(-995,5) + c = 283

f(995,5) = a*(995,5)² + b*(995,5) + c = 283

Der roten Gleichung können wir entnehmen, dass c = 86 ist. 

Das können wir in die blaue und in die grüne Gleichung einsetzen: 

f(-995,5) = a*(-995,5)² + b*(-995,5) + 86 = 283 | -86

f(-995,5) = a*(-995,5)² + b*(-995,5) = 197

f(995,5) = a*(995,5)² + b*(995,5) + 86 = 283 | -86

f(995,5) = a*(995,5)² + b*(995,5) = 197

Jetzt kann man die beiden unterstrichenen Gleichungen addieren (bitte selbst klarmachen, warum man das darf) und erhalten: 

a*(-995,5)² + a*(995,5)² = 197*2 = 394 | :2

a*(995,5)² = 197 | denn a*(-995,5)² = a*(-995,5)²

Nun dividieren wir beide Seiten durch (995,5)²:

a = 197/(995,5)²

a ≈ 0,00019878504

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ich habe mir das hier gerade durchgelesen

https://www.matheretter.de/wiki/gaussverfahren#addverf

und wollte fragen, ob b*(995,5) weggfällt, weil wir es subtrahieren

und wieso fällt (-995,5)² gegen (995,5)² dann nicht direkt weg


Vielen vielen Dank du hast mir sehr geholfen

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und wieso dividierst du bei diesem schritt a*(-995,5)2 + a*(995,5)2 = 197*2 = 394 | :2

durch 2 wir haben doch keine variable mit einer 2 als faktor oder

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Wir subtrahieren die beiden Gleichungen nicht, sondern wir addieren sie: 

a*(-995,5)² + b*(-995,5) = 197

(-995,5)²*a - 995,5*b = 197

a*(995,5)² + b*(995,5) = 197

(995,5)²*a + 995,5* b = 197

Die Summe der beiden unterstrichenen Gleichungen ist dann: 

(-995,5)²*a + (995,5)²*a - 995,5*b + 995,5*b = 197 + 197

Und so fällt b weg!

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Wir haben 2 als Faktor, weil 

a*(-995,5)² = a*(995,5)²

also: 

a*(-995,5)² + a*(995,5)² = 2a*(995,5)²

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okay vielen dank für deine super Hilfe

mach weiter so und alle Menschen wird die Welt der Mathematik bald etwas leichter fallen

 

achso und ist a*(-995,5)2 + a*(995,5)2 = 2a*(995,5)2 nicht eigentlich a*(-995,5)2 + a*(995,5)2 = 2a*(-995,5)2

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Freut mich sehr, wenn ich Dir helfen konnte!

Aber alle Menschen werde ich sicher nicht unterstützen können :-D

Alles Gute!

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" achso und ist a*(-995,5)2 + a*(995,5)2 = 2a*(995,5)2 nicht eigentlich a*(-995,5)2 + a*(995,5)2 = 2a*(-995,5)2 "

Wenn Du es so formulieren willst, stimmt es auch, denn 

2a*(-995,5)² = 2a*(995,5)²

Nehmen wir ein ganz einfaches Beispiel mit kleinen Zahlen: 

2a*(-2)² = 2a*(-2)*(-2) = 2a*4 = 8a

2a*(+2)² = 2a*(+2)*(+2) = 2a*4 = 8a

Ganz einfach zu merken: 

(a)² = (-a)², denn 

(a)² = a*a = a²

und 

(-a)² = (-a)*(-a) = a²

Answer 2

Will man sich das besonders einfach machen definiert man die x-Achse als Fahrbahn

Öffnungsfaktor der Parabel

a = (283 - 71 - 15)/(1991/2)^2 = 788/3964081

Scheitelpunktform aufstellen

f(x) = 788/3964081 * x^2 + 15

Definitionsbereich ist hier D = [-995,5; 995,5]

Comments

bitte a) noch einmal näher erläutern

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Der Öffnungsfaktor einer Parabel kann man recht einfach bestimmen. Man teilt das was man vom Scheitelpunkt nach oben oder unten gehen muss durch das Quadrat des Wertes was man nach rechts gehen muss.
Man braucht dazu den Scheitelpunkt S(0, 15) und einen weiteren Punkt P(1991/2, 283-71) der Parabel

a = (Py - Sy) / (Px - Sx)^2

Hier setzt man nur noch ein und ermittelt den Öffnungsfaktor.

Dann stellt man die Parabelgleichung auf.