Wenn das die Menge aller Bijektionen auf der Menge M ist, genügt es zu zeigen, dass da immer 2 Funktionen vorhanden sind, für die das Kommutativgesetz nicht gilt.
Ich nenne nun die 3 paarweise verschiedenen Elemente von M : a,b und c
Nun gibt es (da nach Annahme alle Bijektionen existieren) die beiden Bijektionen f und g, die folgende Zuordnungen machen
f: a |------------> b, b |--->c, c |-------> a , restl. Elemente bleiben fix.
g: a |----------> a, b|---------> c, c |---------> b ,restl. Elemente bleiben fix.
Nun muss ich zeigen, dass es mindestens ein x gibt für das f (g(x)) ≠ g(f(x))
Versuch: f(g(a)) = f(a) = b
g(f(a)) = g(b) = c
Da nach Voraussetzung b≠c , ist f og ≠ g o f. wzbw.
Nachtrag: Ich hab beim Basteln von f und g daran gedacht, dass geometrisch Drehungen und Spiegelungen nicht nicht kommutative Abbildungen sind und mir a, b und c als Eckpunkte eines gleichseitigen Dreiecks vorgestellt. Die übrigen Elemente von M könnte man theoretisch auch noch irgendwo in die Ebene zeichnen und einfach mitspiegeln/drehen. Einfacher ist wohl man lässt sie einfach fix.
Voraussetzen muss man schon, dass in Bij alle Bijektionen auf M vorhanden sind.
