Question

Bestimmen Sie die Eigenwerte der folgenden Matrizen über R. Welche der Matrizen sind diagonalisierbar? Geben Sie ggf. eine Matrix S an, so dass S ⁻¹AS eine Diagonalmatrix ist.

a) 0 9

   -1 6

b)-1 1 1

   -2 2 1

    0 0 1

Answer 1

A=  0 9

     -1 6det(A -x*E) = x² -6x+9 = (x-3)² .


Einziger EW ist 3 und Eigenraum dazu

ist eindim. Also nicht diagonalisierbar.

b)

char. Polynom ist   -x * (x-1)² also Eigenwerte 0 und 1.

Eigenraum zu 0 hat Basis  ( 1 ; 1 ; 0 )

und zu  1 hat Basis  (1;2;0) und (1;0;2)

Also drei lin. unabh. Eigenvektoren, also diagonalisierbar.

Also S =

1     1      1
1     2      0
0     0      2mit S^-1 * M * S =

0     0      0
0     1      0
0     0      1

die gewünschte Diagonalmatrix.