Geben Sie ein Beispiel für Matrizen A und B in R^{n×n} an, für die (A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2 nicht gilt

Question

Geben Sie ein Beispiel für Matrizen A und B in ℝ ^n×n an, für die die binomische Formel ( A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2 nicht gilt (wobei ” C ²“ C · C bedeutet). Wie muss die rechte Seite der Formel geändert werden, damit sie korrekt wird? 

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Tipp: Es gibt ein Rubrik "ähnliche Fragen" und dort sogar:

https://www.mathelounge.de/306731/2x2-matrix-finden-a-und-b-mit-a-b-2-%E2%89%A0-a2-2ab-b2 

Answer 1

man muss die Reihenfolge der Multiplikation beachten:

$$ (A+B)^2=(A+B)*(A+B)=A^2+AB+BA+B^2 $$

Versuch mal passende 2x2 Matrizen zu finden, sodass AB≠BA

Answer 2

Die Matrizenmultiplikation ist (im allgemeinen) nicht kommutativ, so dass \((A+B)^2\) auch nicht mit der ersten binomischen Formel bestimmt werden kann. Multipliziere stattdessen aus und du hast den zweiten Teil der Aufgabe erledigt. Wähle als Beispiel für den ersten Teil zwei quadratische Matrizen mit \((AB\ne BA)\).

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Was genau soll ausultipliziert werden ?

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$$ \left(A+B\right)^2 = \left(A+B\right) \cdot \left(A+B\right) = \dots $$