Wann ist der Kern bzw. Basis des Kerns einer Matrix = 0

Question

hallo zusammen,

woher weiß ich, dass der Kern bzw. Basis des Kerns einer Matrix = 0 ? Wie ich den Kern bzw. Basis des Kerns einer Matrix ausrechne, weiß ich (Ax=b) aber woher weiss ich dass Kern bzw. Basis des Kerns einer Matrix = 0?

Comments

Der Kern ist eine Menge und damit nie = 0, hoechstens = {0}. Basen sind auch Mengen und immer ≠ {0}. Was ist noch mal Deine Frage?

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Das ist mir schon klar. Die Frage steht oben. Aber ich formuliere es mal anders. Um den Kern / Basis des Kern zu finden, muss ich Ax=0 lösen. Dann habe ich den Kern bzw. die Basis der Kerns.

Nun kann aber der Kern auch  = {0} sein.  Mir ist nicht klar, wann dies der Fall ist. Woher weiß ich, dass der Kern = {0} ist, bzw. woran erkenne ich dies ?

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Wenn Du das homogene LGS Ax = 0 geloest hast, sagen wir mit dem Gauss-Verfahren, bist Du im Besitz aller Lösungen. Da wirst Du dann sicher auch sagen koennen, ob 0 die einzige ist oder nicht.

Ansonsten kannst Du ja zur Illustration Deines Problems mal eine konkrete Aufgabe vorrechnen und daran aufzeigen, wo genau jetzt das Problem sein soll.

Answer 1

zips,

ich habe vorgestern eine ähnliche Frage zu diesem Thema beantwortet (siehe: https://www.mathelounge.de/418475/kern-basis-des-kerns-einer-matrix-bei-vollen-rang#a418575).

Wenn eine Matrix A "vollen Rang" hat, dann enthält der Kern lediglich den Nullvektor, also $$Kern(A)=\{0\}$$ Dieser Kern (Nullvektorraum) hat als Basis die leere Menge $$Basis(\{0\})=\emptyset$$ Es gibt noch weitere Kriterien, da folgende Aussagen äquivalent sind (bleibt zu zeigen):

$$1. \text{ }Kern(A)=\{0\}$$ $$2. \text{ }A\text{ ist invertierbar.}$$ $$3.\text{ }det(A)\neq0$$ $$\text{ }\lambda\in\mathbb{R}\text{ ist Eigenwert }\Longrightarrow \lambda\neq 0$$ Voraussetzung für diese Äquivalenz ist, dass $$A\in\mathbb{K}^{n\times n} \text{ mit }n\in\mathbb{N}$$ quadratisch ist. Hilft Dir das weiter?

André, savest8

Comments

Erinnere mich. gilt das allerdings nur  für quadratische Matrizen?

Siehe als Bsp. hier. Die Matrix hat vollen Rang, aber dennoch einen Kern: https://www.mathelounge.de/417564/wie-kann-dimension-basis-von-kern-ker-bestimmen-und-ist-matrix?show=417606#a417606

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Sehr gut! Quadratisch muss diese Matrix sein, weil die Determinante z.B. nur für quadratische Matrizen erfüllt ist. Die Dimensionsformel (siehe Link aus meiner Antwort) kannst Du als Argumentation verwenden. Frag gerne noch einmal nach ... dann versuche ich es anders zu erklären.

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Übrigens: In dem Beispiel, das unter Deinem Link zu finden ist, würde mit der Dimensionformel gelten: 

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hallo André, danke für deine Antwort. Ich denke ich hab es jetzt endlich Verstanden.

Angenommen ich habe eine lineare Abbildung gegeben und ich soll überprüfen, ob sie injektiv ist. Dies kann ich doch dann einfach mit der Dimensionformel überprüfen. Falls dim(Kern(A))=0 ist, ist sie injektiv richtig ?

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Ja, das ist richtig. Einen passenden Beweis dafür findest Du hier: http://www.informatikseite.de/linearealgebra/lineare_algebra_grundlagennode72.php