Wie berechnet man den Grenzwert von lim (x,y) --> (0,0) y^3/(y^2+x^2)

Question

lim         y^3/(y^2+x^2)

(x,y) --> (0,0)

2 dimensionale Grenzwerte, wäre dankbar für jeden Tipp

Answer 1

Hi,

gehe in Polarkoordinaten mit

x=rcosφ und y=rsinφ

Damit ist dann auch x^2+y^2=r^2(cos^2(φ)+sin^2(φ))=r^2.

 

Es ergibt sich für unser Problem also: (r³sin³(φ))/r^2=rsin(φ).

 

Dass in der Grenzwertbetrachtung r->0 strebt sollte offensichtlich sein. Für φ ist das nicht ganz so deutlich.

Aber dennoch weiß man: |sin(φ)|≤1

Also auch: |r*sin(φ)|≤1*|r| (und das geht natürlich gegen 0).

 

Das erlaubt uns die Aussage:

lim_(x,y)->(0,0) |y³/(y²+x²)| ≤ lim_r->0 |r| = 0

 

Und somit auch lim_(x,y)->(0,0) y³/(y²+x²) -> 0

 

Grüße