B ist eine Basis von K^n beweisen

Question

 Seien n ∈ N, K ein Körper und die Vektoren e_i ∈ Kⁿ für i = 1,...,n wie folgt definiert: e_i : {1,...,n}→ K ist gegeben durch

e_i(j) = 1, falls i = j,

e_i(j) = 0, falls i ≠ j,

für alle i,j ∈{1,...,n}. Zeigen Sie, dass B = {e_i :i = 1,...,n}eine Basis des Vektorraums Kⁿ ist und schliessen Sie dim Kⁿ = n.

Answer 1

Du musst doch nur zeigen, dass die Menge B = {e_i :i = 1,...,n} ein

lin. unabh. Erzeugendensystem von Kⁿ  ist

Sei also v ∈  Kⁿ   also  v = ( v1 , v2, .... , vn ) bzw. ihr schreibt dann wohl 

v : {1,...,n}→ K   mit v(i) = v_i  für irgendwelche  v_i  ∈ K .

Dann ist v = Summe i=1 bis n über  v_i*e_i  , also Erz.system.

und wenn   Summe i=1 bis n über  v_i*e_i  = 0-Vektor ist, dann

gilt für alle i , dass in e_i nur eine Komponente ≠ 0 ist und die

restliche eine 1 , also steht bei jeder Komponente des 0-Vektors

   1*v_i = 0    also alle vi = 0   also die ei lin. unabh.

Und wenn eine Basis n Elemente hat, dann ist dim = n.