Vektoren: Lage von Geraden und Ebenen

Question

Könnt ihr mir bei dieser Untergliederten Aufgabe helfen.
Ich bitte euch keinen Schritt zu überspringen.

1. Gegeben sind die Punkte A(1/0/2), B(0/3/1), C(0/2/-3) sowie die Geraden

g:    6            1              g2:  1           -2
       0    + t*  1                      2  + s*  2
       19          1                      3           1

1.1. Untersuchen Sie die Lage der Geraden g und h.

1.2. Die Punkte A,B und C legen eine Ebene fest. Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene E in Normalform.

Mögliches Zwischenergebnis: E: -13x(nr.1)-4x(nr.2)+x(nr.3)+11=0

1.3 Untersuchen Sie die Lage der Geraden g zu der Ebene E. Bestimmen Sie gegebenen- falls den Schnittpunkt.

Ich danke euch, Maik.

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1.1. Untersuchen Sie die Lage der Geraden g und h.

Welche Gerade h?

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h für g2 sorry

Answer 1

Zu 1.2) Wähle z.B. den Vektor von 0 nach  A als Ortsvektor und die Vektoren von A nach B und von A nach C als Richtungsvektoren. Dann ergibt sich (x;y;z)=(1;0;2)+μ(-1;3;-1)+λ(-1;2;-5) (natürlich in Spaltenschreibweise.) Daraus wird die Nomalenform, wenn mn mit dem Normalenvektor (-13;-4;1) durchmultipliziert (x;y;z)(-13;-4;1)=-11. Daraus wird die Koordinatenform durch skalare Multtiplikation auf der linken Seite: -13x+4y+z=-11 oder mit x=x₁, y=x₂ und z=x₃: -13x₁+4x₂+x₃+11=0.

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Danke aber du gehst da von aus, dass ich verstehe wovon du redest... Bitte schreibt mir das untereinander und erläutert mir jeden Schritt.., das spart Zeit und es macht mehr Spaß... Du schreibst von A nach ? und was ist"mn" Ich muss das sehen von Spalte zu Spalte mit jeweiligen Erläuterung.

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Zu 1.2) Wähle z.B. den Vektor von 0 nach  A als Ortsvektor (1;0;2) und die Vektoren von A nach B (-1;3;-1) und von A nach C (-1;2;-5) als Richtungsvektoren. Dann ergibt sich (x;y;z)=(1;0;2)+μ(-1;3;-1)+λ(-1;2;-5) (natürlich in Spaltenschreibweise.) Daraus wird die Nomalenform, wenn man mit dem Normalenvektor (-13;-4;1) durchmultipliziert (x;y;z)(-13;-4;1)=-11. Daraus wird die Koordinatenform durch skalare Multtiplikation auf der linken Seite: -13x+4y+z=-11 oder mit x=x₁, y=x₂ und z=x₃: -13x₁+4x₂+x₃+11=0.

Wenn du wissen möchtest, wie man einen Normalenvektor auf einer Ebene findet oder eine Ebenengleichung mit einem Normalenvektor durchmultipliziert, melde dich nochmal.

Wenn du wissen möchtest, wie man z.B. den Vektor von A nach B berechnet, melde dich.

Wenn du wissen möchtest, wie man skalar multipliziert, melde dich.

Wenn du andere Fragen hast, melde dich.

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Danke für das Angebot Roland

Answer 2

1. Gegeben sind die Punkte A(1/0/2), B(0/3/1), C(0/2/-3) sowie die Geraden 

g:    6            1              g2:  1           -2 
       0    + t*  1                      2  + s*  2 
       19          1                      3           1 

1.1. Untersuchen Sie die gegenseitige Lage der Geraden g und h. Geradengleichungen sind Gleichungen! Bei dir fehlt vermutlich jeweils r =  . Ich gehe davon aus.    Da die Richtungsvektoren keine Vielfachen voneinander sind, sind die beiden Geraden nicht parallel zueinander (auch nicht zusammenfallend).         Vielleicht schneiden sie sich in einem Punkt oder sie sind windschief.      Schnittpunkt berechnen (Versuch)6 + t = 1 - 2s    (I).     t = 2 + 2s    (II)------------------ (I)+ (II) 6 + 2t = 3   2t = -3t = -1.5   in (I)6 - 1.5 = 1 - 2s 3.5 = -2s-1.75 = s.Probe in (III) 19          + (-1.5) ≠                       3    +    (-1.75)  Falls ich richtig gerechnet habe sind die beiden Geraden windschief. Bitte selber nachrechnen.  

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Tut mir leid wegen der Darstellung. Der Editor will nicht.

Kopie der Rechnung inkl. Zeilenumbrüche:

6 + t = 1 - 2s    (I)  

.     t = 2 + 2s    (II)  

------------------ (I)+ (II) 

6 + 2t = 3   

2t = -3t = -1.5   in (I)  

6 - 1.5 = 1 - 2s 

3.5 = -2s  

-1.75 = s.  

Probe in (III) 19          + (-1.5) ≠                       3    +    (-1.75)  

Falls ich richtig gerechnet habe sind die beiden Geraden windschief. 

Bitte selber nachrechnen. 

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Gerade habe ich geschrieben und schon kommt die bessere Version,,,... danke Lu

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Jetzt kenne ich die Werte von t und s. Was ist mit den gegebenen Punkten, der Ebenen UND vorallen Dingen würde ich den Schnittpunkt bestimmen woRAUS setzt sich der zusammen?!?

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"wie" vergessen

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Der Ortsvektor r und das Gleich fehlen bei deinen Geradengleichungen. 

g: r =     6            1              g2:  r =  1           -2  
               0    + t*  1                            2  + s*  2  
              19          1                            3           1  

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Ja ich weiß.

Kannst du mir beantworten aus was sich der Schnittpunkt bei solchen Aufg. zusammensetzt

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Falls ich richtig gerechnet habe, habe ich hier ein UNGLEICH:

Probe in (III) 19          + (-1.5) ≠                       3    +    (-1.75)   

Falls ich richtig gerechnet habe, haben die beiden Geraden keinen Schnittpunkt. Sie sind  windschief. 

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Ja aber wie würde ich den SCHNITTPUNKT berechnen, wenn es einen gäbe?

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Wenn ich hier "gleich" hätte, würde ich Folgendes rechnen: 

g: r =     6                 1       = 4.5       
               0+ (-1.5)*  1           -1.5                
              19                1         17.5

                 

S( 4.5 | -1.5 | 17.5)   

Bei g2 müsste dasselbe rauskommen. 

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Also setze ich in die URSPRUNGSGLEICHUNG EIN und das Ergebnis sind Schnittpunkt...

Das wollte ich wissen, danke, Maik.

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ICH HABE EINEN GUTEN WEG GEFUNDEN

MAN MUSS EINFACH GLEICH DIE VEKTOREN MIT DEM BUCHSTABEN AUF DIE LINKE SEITE HOLEN SUBTRAHIEREN UND MIT DEN VEKTOREN OHNE BUCHSTABEN GLEICHSTELLEN

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Sehr gut. Das klappt so.

Wenn du danach die Koordinaten von einem allfälligen Schnittpunkt noch explizit berechnen musst, setzt du den berechneten Wert eines Parameters in die entsprechende Geradengleichung ein.

(Zur Kontrolle: Beide einsetzen. Es sollte zwei mal derselbe Ortsvektor des Schnittpunktes rauskommen).

Ich ergänze ein paar Fachausdrücke, in deinem Text. Die kannst (und sollst) du z.B. an einer mündlichen Prüfung benutzen. So vermittelst du den Eindruck, dass du weisst, was du machst.

MAN MUSS EINFACH GLEICH DIE VEKTOREN MIT DEM BUCHSTABEN / = die Richtungsvektoren mit den Parametern AUF DIE LINKE SEITE HOLEN SUBTRAHIEREN UND MIT DEN VEKTOREN OHNE BUCHSTABEN = Stützvektoren der Geraden GLEICHSTELLEN .

Der Vektor r auf der linken Seite der Geradengleichung, ist der Ortsvektor eines beliebigen Punktes auf der Geraden. Er hat allgemeint die Koordinaten x, y und z. 

Ein Ortsvektor von einem Punkt zeigt vom Koordinatenursprung zum betreffenden Punkt. 

Ein Richtungsvektor verläuft parallel zur Geraden. Er wird in der Regel direkt auf die Gerade gezeichnet.