Grenzwert bestimmen. Was habe ich falsch gemacht?

Question

Ich habe irgendwie ein Problem mit dieser Aufgabe: Ich muss hier den Grenzwert  ausrechnen: 

Der Grenzwert geht bei mir gegen 0. Bei den Lösungen steht aber 1/2 als Ergebnis.

Was habe ich hier falsch gemacht?

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Comments

Bei Grenzwertaufgaben muß immer angegeben
werden gegen was die Variable n laufen soll
-∞, 0, -∞

Answer 1

erweitere mit der 3. binomischen Formel:

$$n(\sqrt { n^2+1 }-n)=\frac { n(\sqrt { n^2+1 }-n)(-n-\sqrt { n^2+1 }) }{ (-n-\sqrt { n^2+1 }) }=\frac { n(n^2-(n^2+1)) }{ (-n-\sqrt { n^2+1 }) }\\=\frac { -n }{ -n-\sqrt { n^2+1 } }=\frac { 1 }{ 1+\sqrt { 1+1/n^2 } }\to \frac { 1 }{ 2 }$$

Was du falsch gemacht hast weiß ich nicht, da müsstest du noch deinen Lösungsansatz verraten ;)

Answer 2

Wir haben folgendes $$\lim_{n\rightarrow \infty} n\left(\sqrt{n^2+1}-n\right)=+\infty\cdot (+\infty -\infty )$$

Also müssen wir folgendes machen $$\lim_{n\rightarrow \infty}n\left(\sqrt{n^2+1}-n\right)=\lim_{n\rightarrow \infty}n\frac{\left(\sqrt{n^2+1}-n\right)\left(\sqrt{n^2+1}+n\right)}{\sqrt{n^2+1}+n} \\ =\lim_{n\rightarrow \infty}n\frac{\left(n^2+1\right)-n^2}{\sqrt{n^2+1}+n} \\ =\lim_{n\rightarrow \infty}n\frac{1}{\sqrt{n^2\left(1+\frac{1}{n^2}\right)}+n} \\ =\lim_{n\rightarrow \infty}n\frac{1}{n\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}+n} \\ =\lim_{n\rightarrow \infty}n\frac{1}{n\left(\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}+1\right)} \\ =\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}+1} \\ =\frac{1}{\sqrt{1+0}=1} \\ =\frac{1}{2}$$

Answer 3

Wenn n gegen 0 geht, dann geht auch a_n gegen 0.  Falsch ist vermutlich nur die angegebene Lösung.

Answer 4

Erweitere mit √(n^2+1)+n