Summe der Zufallsvariable( ( k+r-1 tief k)*(1-p)^k*p^r ) = 1

Question

Ich habe die Zufallsvariable
P[X=k] =
$$\begin{pmatrix} k+r-1 \\ k \end{pmatrix}{ (1-p) }^{ k }*{ p }^{ r } $$

mit k=0,1,2,....
p= (0,1)
und r ∈ {1,2,3...}
Ich soll nun bestimmen, dass die Summe P[X=k]= 1 ist.

Ich finde leider keinen Ansatz. Ich könnte p^r vor die Summe ziehen, hilft mir vorerst aber nicht viel weiter. Ich wüsste nicht, wie ich die Summe weiter vereinfachen kann, da ja in jedem Summanden ein anderer Term (1-p)^k an die Koeffizienten dranmultipliziert wird.

Weiß da jemand weiter?

Answer 1

Betrachte zunächst den verallgemeinerten Binomialkoeffizienten. Für x∈ℝ und k∈ℕ gilt:$$ \binom{x}{k} := \frac{x(x-1)...(x - k + 1)}  {k!}  = (-1)^k \frac{-x(-x+1)...(-x + k - 1)}  {k!} =  (-1)^k \binom{-x + k - 1}{k} $$Und für k = 0:$$ \binom{x}{0} := 1 =  (-1)^0 \binom{-x - 1}{0} $$Damit ergibt sich hier:$$ \binom{k + r - 1}{k} = (-1)^k \binom{-(k+r-1)+k-1}{k} =  (-1)^k \binom{-r}{k}$$Einsetzen:$$  p^r \sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k \binom{-r}{k} (1-p)^k = p^r \sum_{k=0}^{\infty}\binom{-r}{k} (p - 1)^k  $$
Mit dem verallgemeinerten binomischen Lehrsatz folgt dann:$$  p^r \sum_{k=0}^{\infty}\binom{-r}{k} (p - 1)^k  =p^r \sum_{k=0}^{\infty}\binom{-r}{k} (p - 1)^k  1^{-r-k} = p^r ((p - 1) + 1)^{-r} = p^r p^{-r} = 1$$

Comments

Vielen dank für die Mühe.

Was hat es mit dem verallgemeinerten Binomialkoeffizienten auf sich?

Unter diesem Stichwort finde ich nur Informationen zu einer Definition des Binomialkoeffizienten mit Komponenten aus nicht-ganzen Zahlen bzw. auch Komplexen Zahlen.

Aber das scheint mir soweit logisch zu sein. Auch die Umformungen danach sind einleuchtend.

Ich finde es hier unglaublich schwer auf diese Ansätze zu kommen. Hast du den Beweis selber geführt oder irgendwo entnommen?

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Der verallgemeinerte Binomialkoeffizient ist auch nichts anderes als eine alternative Definition für reelle/komplexe Zahlen, da die Fakultätsfunktion nur für natürliche Zahlen definiert ist. Für diese stimmen beide Definitionen überein.

Der Beweis ist selbst geführt, musste das ganze vor nen paar Wochen selbst beweisen. Wenn man weiß, dass es sich um die Dichte der negativen Binomialverteilung handelt, kommt man allerdings auch leichter auf den Ansatz.