Wurzelgleichungen Lösungsweg und Lösung gesucht

Question

Wie löst man die untenstehenden Gleichungen? Ich benötige den Lösungsweg und die Lösung.

Answer 1

1. Addiere so dass auf einer Seite nur Wurzeln und auf der anderen Seite keine Wurzeln vorkommen.
2. Quadriere
3. Ausmultiplizieren
4. Zurück zu 1, falls noch Wurzeln in der Gleichung vorkommen

So bekommst du die Wurzeln weg.

Beispiel.

$$\begin{aligned}\sqrt{2x+1}+2 & =2\cdot\sqrt{x+9}-3 & & |\,-2-2\sqrt{x+9}\\\sqrt{2x+1}-2\cdot\sqrt{x+9} & =-5 & & |\,\diamondsuit^{2}\\\left(\sqrt{2x+1}-2\cdot\sqrt{x+9}\right)^{2} & =25\\2x+1-4\sqrt{2x+1}\cdot\sqrt{x+9}+4\cdot\left(x+9\right) & =25 & & |\,-2x-1-4\cdot\left(x+9\right)\\4\sqrt{2x+1}\cdot\sqrt{x+9} & =24-2x-4\cdot\left(x+9\right)\\4\sqrt{2x+1}\cdot\sqrt{x+9} & =-12-6x & & |\,\diamondsuit^{2}\\16\cdot\left(2x+1\right)\cdot\left(x+9\right) & =\left(-12-6x\right)^{2} & &\end{aligned}$$

Jetzt hast du eine quadratische Gleichung, die du mit den dafür bekannten Methoden lösen kannst. Mach am Ende die Probe, weil Quadrieren zu Scheinlösungen führen kann.

Comments

\(:2\) im vorletzten Schritt muss auch auf beiden Seiten durchgeführt werden.

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Ja, danke. Und auch sonst waren da noch einige Fehler drin, die ich jetzt korrigiert habe.

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Die Durchführung von 1)  wäre bei den beiden letzen Gleichungen nicht zielführend.

Answer 2

√(3x+4) +√(5-4x) =4  | - √(5-4x)

√(3x+4) =4  - √(5-4x) |(...)^2

3x+4 = (4  - √(5-4x))^2

3x+4 = -4x+21 -8 √ (5-4x)) |+4x -21

7x -17 = -8 √ (5-4x)) (*-1)

17 -7x  = 8 √ (5-4x) |(...)^2

(17 -7x)^2 = 64(5-4x)

49 x^2-238x +289 =320 -256x

49 x^2+18x -31 = 0 | :49

 x^2+(18/49)x -31/49  = 0 ->pq-Formel z.B.

----------<

x₁=  -1

x₂= 31/49

Die Probe bestätigt die Richtigkeit der Lösungen