Differenzierbar - An welchen Stellen ist die Funktion differenzierbar? f(x) = x*|sin(x)|

Question

1) An welchen Stellen ist die Funktion f(x) = x|sin x| dfferenzierbar? Begründen Sie, warum die Funktion nicht uberall differenzierbar ist.

2) Ist die Funktion f(x) = x sin|x| im Punkt 0 differenzierbar?

Comments

ich habe bei 2) von Rechts \(\infty\) und von Links -\(\infty\). Also d.h. in 0 nicht differenzierbar. Ist es tatsächlich so oder habe ich Fehler gemacht ?

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https://www.wolframalpha.com/input/?i=x*%7C+sin(x)+%7C

und 

https://www.wolframalpha.com/input/?i=x*sin(%7Cx%7C)

geben dir einen Eindruck vom Verlauf des Funktionssgraphen.

Selbstverständlich sollst du rechnen! Aber hier siehst du zumindest schon mal, wo Knicke im Graphen liegen könnten.

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zu 2) habe ich jetzt was anders gemacht und nämlich.

Ich habe einfach x gekürzt.

$$ lim_{x \to 0^+}  \frac{xsin|x|}{x} =  lim_{x \to 0^+}  sin|x| = 0$$.

$$  lim_{x \to 0^-}  \frac{xsin|x|}{x} =  lim_{x \to 0^-}  sin|x| = 0 $$.

Weil Links- und rechtsseitiger Grenzwert gleich sind, folgt dass diese Funktion in \(x_0 = 0 \) differenzierbar ist.

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Erwähne noch, dass du für deinen Bruch (f(0+x) - f(0))/(0+x-0) gerechnet hast, und warum du keine andern Stellen als x=0 untersucht hast / untersuchen musstest. 

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Die Aufgabe hat 2 Fragen 1) und 2).2)  sagt, dass die Funktion im Punkt 0 untersucht werden muss und diese Funktion ist nicht die gleiche wie diese aus 1). Deswegen muss ich nicht sagen, warum ich nur bei x_0 = 0 untersucht habe, aber die Differenzequotienten kann noch geschrieben werden, du hast recht.

Answer 1

Als Anfang: Wenn \(\sin a\ne0\), dann ist entweder \(f(x)=x\sin x\) oder \(f(x)=-x\sin x\) für alle \(x\) aus einer ganzen Umgebung \(U\) von \(a\). Warum?

Da man für die Ableitung an der Stelle \(a\) nur die Werte von \(f\) für \(x\in U\) braucht, kann man \(f'(a)=\pm(\sin a+a\cos a)\) direkt angeben.

Comments

Also d.h. diese Funktion ist ableitbar für \(\forall x \in \mathbb{R}_{>0}\), Da wie ich schon gesagt habe, bei \(x_0 = 0\) hat man von Rechts \(\infty\) und von Links -\(\infty\).

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Leider alles falsch. Die Funktion ist sicher differenzierbar für \(x\ne k\pi\) mit \(k\in\mathbb{Z}\). Das folgt aus dem, was ich Dir geschrieben habe. Die Stellen \(x=k\pi\) sind noch extra zu untersuchen. Wegen \(x\left|\sin x\right|\approx x\left|x\right|\) für kleine \(x\) darf man schon mal von \(f'(0)=0\) ausgehen.