Beweis {Integral LambertW(1/x²) dx,x=0...inf }= sqrt(2Pi)?

Question

Selbst WolframAlpha scheint das nicht zu kennen:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+LambertW(1%2Fx%C2%B2)+dx,x%3D0...inf

Ich konnte es auch schon bis weit über 40 Stellen bestätigen, aber das ist kein Beweis,

da es sogar Konstanten neben Pi gibt, die mit über 17000 Stellen übereinstimmen...

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Die engl. Wiki-Version ist mal wieder besser als die deutsche!

(sonst vergleiche ich auch immer beide... -> diesmal vergessen)

Der Trick liegt also in der Umformung des Integrals in Richtung

Gammafunktion -> und die hat ja die bekannten sqrt(Pi) Ergebnisse

bei n/2 Argumente.

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Damit kann das Thema geschlossen werden?

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Eigentlich hatte ich gehofft, dass sich jemand die Mühe der Substitution für genau diesen Fall macht, da bei Wiki der andere Fall beschrieben ist.

Der grobe Weg ist auch klar, aber der "feine genaue Weg" fehlt eigentlich noch...

Answer 1

Hi,
wenn man von der Identität $$ \int_0^\infty \frac{W(u)}{u \sqrt{u}} du = 2 \sqrt{2 \pi}  $$ ausgeht folgt aus der Substitution $$ u = \frac{1}{x^2}  $$ das gilt $$ du = -\frac{2}{x^3} dx $$
Die Integrationsgrenzen muss man natürlich mit transformieren, daraus folgt dann
$$ 2 \sqrt{2 \pi} = \int_0^\infty \frac{W(u)}{u \sqrt{u}} du = \int_\infty^0 \frac{W\left(\frac{1}{x^2}\right)}{\frac{1}{x^2} \sqrt{\frac{1}{x^2}}} \left( -\frac{2}{x^3}  \right) dx = 2 \int_0^\infty W\left(\frac{1}{x^2}\right) dx  $$ Also $$ \int_0^\infty W\left(\frac{1}{x^2}\right) dx = \sqrt{2 \pi}  $$

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Danke für Deine Mühe das hier so schon aufzuschreiben.