Grenzwert ermitteln mithilfe von e-Funktion

Question

Hallo :)

bei der folgenden Aufgabe habe ich große Schwierigkeiten auf den Grenzwert zu kommen:
limes n->infinity x^{n^2}/n²ⁿ mit x > 0.

Als Tipp wurde mir gesagt, dass man alles als e-Funktion notieren soll. Das habe ich probiert. Allerdings weis ich nicht, ob das der Richtige weg ist bzw. wie es weiter geht:

limes n->infinity e^{(n^{2} ln(x) - 2n ln(n))}

limes n->infinity e^{n^{2}(1 ((ln(x) - 2n ln(n))/(n^2)))}

limes n->infinity e^{n^{2}(1 (((ln(x))/(n^2)) - ((2n ln(n))/(n^2))))}

Wolfram Alpha sagt mir als Ergebnis kommt 0 raus. Unter der Annahme |x|<1. Wie kommt man den da hin? Würde mich über Unterstützung/Lösung freuen.

Hier nochmal das von oben als Bild:

 

Answer 1

du kannst die Umformung mit der e-Funktion nehmen.

Wenn 0<x<1, dann ist ln(x)<0 und somit strebt n^2*ln(x)-2n*ln(n) gegen -∞. der e Term strebt also gegen 0.

Wenn x=1 hat man nur noch -2n*ln(n), das strebt auch gegen -∞.

Für x>1 ist zu untersuchen:

$$ \lim_{n\to\infty}n^2ln(x)-2nln(n) $$

Das kann man abschätzen mit:

$$ n^2ln(x)-2nln(n)>n^2ln(x)-2nln(n)>n^2ln(x)-2n\sqrt { n }\\=(ln(x)\sqrt { n }-2)n^{3/2}\to \infty $$

Also ist

$$ \lim_{n\to\infty}n^2ln(x)-2nln(n)=\infty  $$

Der e-Term strebt hier dann auch gegen ∞.