LGS mit dem gaußschen Eliminationsverfahren lösen

Question

ich komme mit dieser Art von Aufgabe gar nicht zurecht, ich habe hier eine Aufgabe wo ich zuerst das LGS aufstellen und daraus dann die Koeffizientenmatrix bilden soll.

3125  625  125  0

2500  300  30  0

3125  500  75  -1,5

Jetzt soll ich das Gaußsche Eliminationsverfahren anwenden. Man muss ja jetzt erstmal dafür sorgen, dass links nur 0 rauskommen, damit man diese Stufenform erhält.

Answer 1

Es muss nicht unbedingt links null rauskommen. Es geht auch in der 3. Spalte

[3125, 625, 125, 0]
[2500, 300, 30, 0]
[3125, 500, 75, -1.5]

I/125 ; II/10 ; III/25

[25, 5, 1, 0]
[250, 30, 3, 0]
[125, 20, 3, -0.06]

II - 3*I ; III - 3*I

[25, 5, 1, 0]
[175, 15, 0, 0]
[50, 5, 0, -0.06]

3*III - II

[25, 5, 1, 0]
[175, 15, 0, 0]
[-25, 0, 0, -0.18]

Leider erwähnen die meisten Lehrer nicht das es egal ist mit welcher Spalte man anfängt. Daher bevorzuge ich auch die Schreibweise als Gleichungen und nicht als Matrix.

Comments

Hi,ich habe diese Aufgabe mit dem Taschenrechner nachgerechnet und die Ergebnisse erhalten die mathef oben rausbekommen hat. Er hat von links angefangen ( so wie ich es gelernt habe ). Ich bin jetzt ziemlich verunsichert, ich weiß nicht wie er auf diese Ergebnisse gekommen ist und wie du auf deine gekommen bist, warum sind deine anders und warum fängst du von rechts an?Ich verstehe auch nicht wo man die Endergebnisse einsetzt damit man die richtigen Ergebnisse rausbekommt. :/

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Die Richtige Lösung ist:

x = 9/1250 ∧ y = - 21/250 ∧ z = 6/25

Du bekommst sie sowohl über meinen Lösungsweg als auch den von mathef heraus. Es ist ganz einfach warum ich rechts anfange und nicht links. Ganz einfach aus dem Grund weil man dann sehr kleine Zahlen hat und alles sehr einfach im Kopf rechnen kann. Das Gauss verfahren wurde eigentlich nicht für 3x3 Matrizen entwickelt sondern für Matrizen die Wesentlich größer sind. Da kann es helfen eine Struktur von Links nach rechts beizubehalten.

Bei Matrizen bis 3 x 3 ist es ratsam damit anzufangen was man leicht rechnen kann. Besonders bei Steckbriefaufgaben ist es oft so das es günstiger ist rechts anzufangen.

Wie gesagt ist es egal wie rum man rechnet. Es kommen exakt die gleichen Ergebnisse heraus.

Wie du oben an meiner Rechnung sieht multipliziere ich nach dem anfänglichen Teilen nur noch mit 3. Das ist sehr einfach und auch für ungeübte Kopfrechner wie mich möglich.

Wenn man natürlich einen TR benutzt, dann kann man wie mathef auch mit 12.5 multiplizieren. Es sieht aber so aus, dass solche Gleichungssysteme auch häufig mal ohne TR gelöst werden sollen und wenn man dann nicht weiß wie man geschickt vorgeht, verbraucht man unnötig viel Zeit.

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Wie genau komme ich denn auf die x,y und z Brüche? Wo genau stehen diese Zahlen? Wo muss ich die einsetzen? Das muss ich ja auch können, momentan ist das mein größtes Problem :/Ansonsten Danke ich dir für deine bisherige Erklärung :)

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Du hast meine Letzte Matrix

[25, 5, 1, 0] 
[175, 15, 0, 0] 
[-25, 0, 0, -0.18] 

Die letzte Zeile steht für 

-25x = -0.18 --> x = 0.0072

Die Vorletzte Zeile steht für 

175x + 15y = 0

175*0.0072 + 15y = 0 --> y = -0.084

Die erste Zeile steht für

25x + 5y + z = 0

25*0.0072 + 5*(-0.084) + z = 0 --> z = 0.24

Ist das so klar? Nachdem du die Zeilenstufenform hast kannst du also von unten nach oben die Zeilen durchgehen und alle Unbekannten lösen.

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Habe es jetzt verstanden :) Mir wurde das so leider gar nicht vermittelt, kein Wunder, dass ich bei diesem Schritt nie weiter gekommen bin. Danke :)

Answer 2

3125  625  125  0

2500  300  30  0

3125  500  75  -1,5      3. Zeile minus 1. Zeile gibt

3125  625    125     0            | :125
2500  300     30      0            | : 10
   0     -125    -50    -1,5


    25     5         1     0            
  250    30        3      0            2. Zeile - 10*1. Zeile
   0     -125    -50    -1,5


    25     5         1        0            
    0      -20       -7      0        | *12,5    
    0     -125    -50    -1,5     |   *(-2) 



    25     5             1          0            
    0      -250       -87,5      0        
    0       250        100       3     3. Zeile + 2. Zeile


   25     5             1           0            
    0      -250       -87,5      0        
    0         0         12,5       3 

also x3 =   3/ 12,5 = 6/25     x2=-21/250   x1=9/1250

Comments

vielen Dank für deine Antwort :) Ich habe diese Matrix Aufgabe auch mit dem Taschenrechner gelöst und erhalte dort diese Treppe von einsen mit den ganzen nullen darunter und darüber. Rechts stehen 0,0072 ; -0,084 ; 0,24. Wie genau rechnest du das aus? Ich habe das schon öfters gesehen, dass das irgendwo eingesetzt wird aber wie genau kommst du auf 6/25,-21/250 und 9/1250?, was bedeutet "also x3"?

Den Gauß Algorithmus verstehe ich ja einigermaßen, hätte aber noch ein paar Fragen: Warum erhältst du keine einsen? Müssen es überhaupt einsen sein? In den Vorlesungen wurde mir das so vermittelt, dass man unter diesem pivot Element zuerst nullen bilden soll, damit man in der Lage ist, diese Treppe aus einsen zu bilden, bei dir allerdings sind dort größere Werte, was ich irgendwie nicht ganz nachvollziehen kann.

Außerdem wusste ich noch gar nicht, dass man einfach so durch 125 oder 10 teilen darf. Was darf man eigentlich alles machen?Ich habe schon öfters gesehen, dass manche Zahlen durch sich selbst teilen, sodass eine 1 rauskommt, dann habe ich mal gesehen, dass manche ganze Zeilen tauschen, gibt es denn so richtige Regeln? Oder kann man wie man will seinen Weg gehen?

Neben deiner Antwort, gibt es ja noch die von Der Mathecoach, er hat irgendwie ganz andere Ergebnisse als du und hat es von der anderen Seite berechnet, er hat aber auch keine Treppe aus einsen raus(so wie der Taschenrechner und so wie ich es gewohnt bin). Habe immernoch Probleme mit dem Algorithmus, wäre sehr nett, wenn du mir da ein wenig helfen könntest und mir meine Fragen beantworten würdest :)