Ableitung von ln((x+2)/Wurzel(x^2 - 4))

Question

Hallo. Weiß jemand, wie man auf die Ableitung von

ln ((x+2)/√(x²-4)) kommt?

Das Ergebnis ist -2/(x²-4).

Weiß nicht, welche Regeln man da alles anwenden muss.

Danke für Hilfe :)

Answer 1

Mit der Umformung

$$ \ln\left( \frac { x+2 }{ \sqrt{x^2-4} } \right) = \dots = \frac { 1 }{ 2 } \cdot \ln\left( \frac { x+2 }{ x-2 } \right) = \dots $$wirst du zunächst die Wurzel los.

Comments

Mit

$$ \dots = \frac { 1 }{ 2 } \cdot \ln\left( \frac { x+2 }{ x-2 } \right) = \frac { 1 }{ 2 } \cdot \left( \ln\left(x+2\right) - \ln\left(x-2\right) \right).$$wirst du auch den Quotienten los. Die Ableitung ist dann relativ einfach und kann bei Bedarf noch zum Kontrollergebnis umgeformt werden.

Answer 2

f(x) = LN((x + 2)/√(x^2 - 4))

= LN(x + 2) - LN(√(x^2 - 4))

= LN(x + 2) - LN((x^2 - 4)^{1/2})

= LN(x + 2) - 1/2·LN(x^2 - 4)

f'(x) = 1/(x + 2) - 1/2·1/(x^2 - 4)·(2·x)

f'(x) = 1/(x + 2) - x/(x^2 - 4)

f'(x) = (x - 2)/((x + 2)·(x - 2)) - x/(x^2 - 4)

f'(x) = (x - 2)/(x^2 - 4) - x/(x^2 - 4)

f'(x) = -2 / (x^2 - 4)