Grenzwert lim->unendl. ln(2x)/ln(5x^2+1)

Question

Komme bei dieser Grenzwertaufgabe nicht weiter.

L´hospital darf ich nicht verwenden.

Bis hierhin hab ichs gemacht:

$$\lim _{ x\rightarrow \infty  }{ \frac { ln(2x) }{ ln(5{ x }^{ 2 }+1) }  } $$

$$\lim _{ x\rightarrow \infty  }{ \frac { { e }^{ ln(ln(2x)) } }{ { e }^{ ln(ln(5{ x }^{ 2 }+1)) } }  } $$

$$\lim _{ x\rightarrow \infty  }{ { e }^{ ln(ln(2x))-ln(ln(5{ x }^{ 2 }+1)) } } $$

Answer 1

hier hilft das Majorantenkriterium weiter. Für ausreichend große Werte von \(x\) gilt

$$ \frac{\ln(2x)}{\ln(6x^2)} \lt \frac{\ln(2x)}{\ln(5x^2+1)} \lt\frac{\ln(2x)}{\ln(5x^2)} $$

und jetzt geht

$$\lim_{x \to \infty} \frac{\ln(2x)}{\ln(6x^2)} = \lim_{x \to \infty} \frac{\ln(2) + \ln(x)}{\ln(6) + 2\ln(x)} $$

Dividiere Zähler und Nenner durch \(\ln(x)\) und betrachte die Grenzwerte von Zähler und Nenner getrennt. Der Grenzwert geht dann gegen \(\frac{1}{2}\). Das gilt genauso für die obere Grenze.