Probleme beim Aufstellen eines Taylorpolynoms

Question

Hi, könnt Ihr mir bei folgender Aufgabe helfen:

Berechnen Sie das Taylorpolynom 2. Grades T₂(x;-1)  der Funktion g(x)=  (5-x⁴)^1/2 im Entwicklungspunkt x₀= -1

Vor allem habe ich Probleme beim Vereinfachen der 2. Ableitung:

1. Ableitung  $$g'(x)=\frac { { -2 }x^{ 3 } }{ \sqrt { 5-{ x }^{ 4 } }  } $$

2. Ableitung $$g''(x)=\frac { -2*\left[ 3{ x }^{ 2 }*\sqrt { 5-{ x }^{ 4 } } +\frac { 2{ x }^{ 3 } }{ \sqrt { 5-{ x }^{ 4 } }  }  \right]  }{ 5-{ x }^{ 4 } } $$

Ich weiß vorallem  nicht wie ich erfolgreich den Doppelbruch auflöse.

MFG John

Answer 1

Dein f '(x)  ist richtig.

in  [ ... ]  kannst du alles auf den Nenner √(5-x⁴)  bringen und diesen Hauptnenner dann unter den vorgegebenen Bruchstrich schreiben. Dann im Zähler ausmultiplizieren und zusammenfassen:

f "(x) = 2·x²·(x⁴ - 15) / (5 - x⁴)^3/2

Kontrollergebnis:  T₂(x;-1) = 2 + (x+1) - 7/4 * (x+1)²

Gruß Wolfgang

Answer 2

da du zur Bestimmung des Taylorpolynoms zweiten Grades die 3te Ableitung der Ausgangsfunktion

nicht brauchst, ist es unnötig diese Ableitung zu vereinfachen, sondern man kann sofort x=-1 einsetzen um g''(-1) auszurechnen.

PS: Bei deiner zweiten Ableitung muss in der eckigen Klammer hinten x^6 anstatt x^3 stehen