ganzrationale Funktion 3. Grades - Funktionsterm ermitteln

Question

Ich habe 2 Fragen:

1. Die Aufgabenstellung lautet:

f(2) = f(-2) = f(1) = 0 und f(0) = 5

Ermitteln Sie f(x).

Bekannt ist:

f(x) = ax^3+bx^2+cx+d

f´(x) = 3ax^2 + 2bx + c

f´´(x) = 6ax + 2b

Die Punkte in ersteres eingesetzt ergibt:

f(0) = a0^3+ b0^2 +c0 +d = 5

                                          d = 5

f(1) = a + b + c +5 = 0

Doch wie ermittele ich die Koeffizienten von a, b, und c? Und in wie weit nimmt die Spiegelung zur y-Achse f(2) = f(-2) darauf Einfluss?

Answer 1

f(2) = f(-2) = f(1) = 0 und f(0) = 5.Ermitteln Sie f(x)!

Ein sinnvoller Ansatz wäre

$$f(x) = a \cdot \left( x-2 \right) \cdot \left( x+2 \right) \cdot \left( x-1 \right) $$so dass mit \(f(0)=5\) sofort \(a=5/4\) folgt und man fertig ist.

Answer 2

f (2) = f(-2) = f(1) = 0 und f(0) = 5

f ( 1 ) = 0
f ( 2 ) = 0
f ( -2 ) = 0
f ( 0 ) = 5

f ( x ) := a * x^3 + b * x^2 + c * x + d

f ( 1 ) := a * 1^3 + b * 1^2 + c * 1 + d = 0
f ( 2 ) := a * 2^3 + b * 2^2 + c * 2 + d = 0
f ( -2 ) := a * (-2)^3 + b * (-2)^2 + c * (-2) + d = 0
f ( 0 ) := a * 0^3 + b * 0^2 + c * 0 + d = 5  => d = 5

a * 1^3 + b * 1^2 + c * 1 + 5 = 0
a * 2^3 + b * 2^2 + c * 2 + 5 = 0
a * (-2)^3 + b * (-2)^2 + c * (-2) + 5 = 0

3 Gleichungen mit 3 Unbekannten.
Müßte lösbar sein.

Comments

Zur Kontrolle
f(x) = 1,25·x^3 - 1,25·x^2 - 5·x + 5