Eine ganzrationale Funktion 3. Grades hat einen Tiefpunkt bei T \((1|-1)\) und besitzt im Punkt P\((2|1)\) eine Tangente mit der Gleichung \(y = 4,5 x - 8\).
T \((1|-1)\) →T´\((1|0)\) doppelte Nullstelle:
\(f(x)=a(x-1)^2(x-N)\)
P\((2|1)\)→P´\((2|2)\):
\(f(2)=a(2-1)^2(2-N)=a(2-N)=2\)
\(a=\frac{2}{2-N}\):
\(f(x)=\frac{2}{2-N}[(x-1)^2(x-N)]\)
P'\((2|...)\) eine Tangente mit der Gleichung \(y = 4,5 x - 8\):
\(f'(x)=\frac{2}{2-N}[(2x-2)(x-N)+(x-1)^2]\)
\(f'(2)=\frac{2}{2-N}[2(2-N)+(2-1)^2]=\frac{2}{2-N}[5-2N]=4,5\)
\(N=-2\):
\(a=\frac{2}{2-(-2)}=\frac{1}{2}\):
\(f(x)=\frac{1}{2}(x-1)^2(x+2)\)
\(p(x)=\frac{1}{2}(x-1)^2(x+2)-1\)
